一致收敛性及其判别法含参量反常积分的性质

sin xy
sinu
A
dy
du
y
Ax u
其中 A > 0.
由于 sinu du 收敛，故
0u 0, M c，使得当A M时，就有
| sinu du |
A u
取 N M ， 则当 A N 时， A M，
对一切 x [， )，有 Ax A M，
从而
|
sin xy dy ||
⑵ 对每一个固定的 x ∈[ a, b ]，函数 g ( x, y ) 关于 y
单调递减且当 y 时，对参量 x , g ( x, y ) 一致
地收敛于 0 ， 则
c f ( x, y)g( x, y)dy
在 [ a, b ] 上一致收敛.
阿贝尔判别法 设
⑴ f ( x, y)dy 在 [ a, b ] 上一致收敛. c
证
因为 I( x)
f ( x, y)dy
在[a, b]上
c
一致收敛，由定理19.8，对任一递增且趋于
的数列 { An } ( A1 c), 函数项级数
I(x)
n1
An1 An
f (x,
y)dy
证
因为，反常积分
sin x dx
收敛，
0x
从而对于参量 y 它在 [ 0, d ] 上一致收敛，
函数 g( x, y) e xy 对每个 x ∈[ 0, d ]，关于参量 y
单调减少，且在[ 0, d ] 上一致有界：
| g( x, y) || e xy | 1, 0 y d , x 0
un ( x)
n1
在[a, b]上一致收敛.
魏尔斯特拉斯M 判别法
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设有函数g( y), 使得
f (x, y) g( y), x [a,b], y [c,).
若
g( y)dy 收 敛, 则
f ( x, y)dy
c
c
在[a, b]上一致收敛.
例2
证
明
含
参
量
反
常
积
分 0
cos 1
xy x2 dx
• 一致收敛性及其判别法 • 含参量反常积分的性质
一、一致收敛性及其判别法
设函数 f (x, y)定义在无界区域
R { ( x, y) | a x b, c y }
上，若对 于每 一个 固定的 x [a, b], 反常 积分
c f ( x, y)dy
(1)
都 收敛,则 它是 x 的 函数, 记 这个 函 数 为I( x), 有
定义1 若 0, N c, 使得当M N 时，
对一切x [a, b]，都有
M
| c f ( x, y)dy I( x) | 则称含参量反常积分 f ( x, y)dy
c
在[a, b]一 致 收 敛 于I( x),
或 含参 量积 分在[a, b]一 致收 敛.
由于
I( x) c f ( x, y)dy
所以上述定义中的不等式
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
也可表示为
| M f ( x, y)dy |
定理19.7( 一致收敛的柯西准则）设含参量反常
积 分 f ( x, y)dy 在 [a, b] 一 致收 敛 c 0, M c，使得当A1, A2 M时，对一切 x [a, b]，都有
I( x) c f ( x, y)dy
都收敛，由反常积分收敛的定义，即
0, N( , x) c, 使得 M N ,
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
其中 N 与 x 有关. 如果存在一个与 x [a, b]
无关的 N ( ) 使得该不等式成立，就称
反常积分在区间 [ a, b ]上一致收敛
I ( x) c f ( x, y)dy, x [a, b]
则⑴式为定义在[a, b]上的含参量x 的无穷限
反 常 积 分 ， 或 简 称 含 参量 反 常 积 分
设反常积分 I( x) f ( x, y)dy 在 [ a, b ] 收敛 c
即 对 于 每 一 个x [a, b], 反 常 积 分
⑵ 对每一个固定的 x ∈[ a, b ]，函数 g ( x, y ) 为 y
的单调函数，且存在 M > 0, 使得
| g( x, y) | M, x [a,b],y c
则
c f ( x, y)g( x, y)dy
在 [ a, b ] 上一致收敛.
例3
证
明
含
参
量
反
常
积
分
e
xy
sin
xdx
0
x
在 [0, d ] 上 一 致 收 敛.
证 : u [a,), 有 eux2 eax2 .
而无穷积分 eax2 dx收敛 0
故有魏尔斯特拉斯M判别法知
含参量反常积分 eux2 dx 0
在 [a,) 上一致收敛 (a 0).
狄利克雷判别法 设
⑴ 存在 M > 0, 对一切 N > c , 及一切 x ∈[ a, b ]
都有
N
| c f ( x, y)dy | M
sinu du |
A
y
Ax u
所以 sin xy dy 在[， ） 一致收敛.
0
y
定 理19.8 设 含 参量 反 常 积 分 f ( x, y)dy c
在[a, b]一 致 收敛
对 任一 趋 于 的 递增 数 列{ An } (其 中A1 c)，
函数项级数
n1
An1 An
f ( x, y)dy
故由阿贝尔判别法，知 e xy sin xdx
0
x
在[ 0, d ] 上一致收敛
二、含参量反常积分的性质
定理 19.9（连续性） 设 f ( x, y) 在
[a, b][c, ) 连续，若
I( x) c f ( x, y)dy
在[a, b]上 一致 收 敛，则 I( x)在[a, b]上 连 续 。
| A2 f ( x, y)dy | A1
例1 证 明 含 参 量 反 常 积 分 sin xy dy
0y
在[， ）上一致收敛（其中 0), 但在
（0， ）内不一致收敛。
分析 要证： 0, N 0, 使得当A N 时， 对一切 x [ ,)，都有
| sin xy dy |
A
y
证 令u=xy,得
在 (, ) 上 一 致 收 敛.
证
因为，有
cos xy 1 | 1 x2 | 1 x2
y
并且反常积分
1 0 1 x2 dx
收敛
所以
cos xy 0 1 x2 dx 在 (, ) 上 一 致 收 敛.
例3: 证明含参量反常积分 eux2 dx
在 [a,) 上一致收敛 (a 0). 0