共轭复数

三、复数的乘法
已知两个复数z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则 z1· z2=(ac-bd)+(bc+ad)i
复数的乘法满足交换律, 结合律以及 分配律, 即有 : z1 z 2 z 2 z1 (z1 z 2 ) z 3 z1 (z 2 z 3 ) z1 (z 2 z 3 ) z1 z 2 z1 z 3
(3) 已知（3-ai)-(b+4i)=2a-bi,
求实数a、b的值。
说明: 称以下式子所表示的数为复数的模 (绝对值)
| z || a bi | r a b
2
2
二、共轭复数：
定义： 实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做 互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭。
复数Z的共轭复数用 Z来表示 即Z a bi 时, Z a bi
说明：
1 | Z || Z |
Z Z
Z1 Z2 Z1 Z2
2 Z1 Z2 Z1 Z2
例2、（1）若Z1 3 i , Z 2 4i 1, Z1 Z Z 2 , 求Z ( 2)设f ( Z ) Z, Z1 3 4i , Z 2 i 2, 则求f ( Z1 Z 2 ) ( 3)已知Z C, 且2Z 3Z1 1 3i , 求复数Z.
* n n
所有可能的取值.
练习:
(A) 1
1+i1+i2+i3+…+i 2004的值为( A )
(B) -1 (C) 0 (D) i
四、复数的除法 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
a bi 记做 (a bi ) (c di )或 . c di
例1、 计算:
• (1) (2-3i)(4+2i) • (2) (1+2i)(3+4i)(-2+i) • (3) (a+bi)(a-bi)
z z | z |2 | z |2 特别地 ,当 | z | 1 时, z z 1
例2 、 计算:(1+2i)2 例3 、 当n N 时 , 计算i (i)
a bi (a bi)(c di) (a bi) (c di) c di (c di)(c di) ac bd (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
(a bi ) (c di ) a bi ac bd bc ad 2 i 2 2 2 c di c d c d
例1、计算
1 i (1) 1 i 13 9i (2) (2 i ) 2
(1 2i ) 2 (2 i ) 2 2 3 i 2 1000 (3) ( ) 1 i 1 i 1 i 1 2 3i
Байду номын сангаас
小
结
1 4 4 4 1 4
1. 注意 : (i ) (i ) 2. 常用的结果 : i i
复数的四则运算
一、复数的加、减法
1、加法： 设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) 则Z1+Z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+di) 两个复数的和依然是一个复数，它的实部是原来的两个 复数实部的和，它的虚部是原来的两个复数虚部的和
交换律：
结合律：
Z1+Z2=Z2+Z1 (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)
例3、下列命题中正确的是 (1)如果Z1 Z 2是实数，则Z1、Z 2互为共轭复数 ( 2)纯虚数Z的共轭复数是 Z。 ( 3)两个纯虚数的差还是纯 虚数 (4)两个虚数的差还是虚数 。
例4、下列命题中的真命题 为： ( A )若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 (B )若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 (C)若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 ( D)若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。
2、减法： 设Z1=a+bi(a,b∈R)
Z2=c+di(c,d∈R)
则Z1-Z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-di) 两个复数的差依然是一个复数，它的实部是原来的两个 复数实部的差，它的虚部是原来的两个复数虚部的差
例1、计算(1) (1+3i)+(-4+2i) (2) (5-6i)+(-2-I)-(3+4i)
n n n 1
因为在复数集中未定义分数指数幂 i
n2
i
n 3
n3

i i
n 1
i
n2
i

(1 i ) 2
1 i i 1 i -i 3 ____; ____; 1 i 1 i 1 i 2007 ( ) ______ . 1 i