关于直线与圆锥曲线的交点课件

[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常, 那么 ,依然可以用判别式判断位置关系
[2]一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意
味着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相
交?
请判断下列直线与双曲线之间的位置关系
[1] l:x3 ,c:x2y2 1 9 16
相切
结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的 位置关系 ！
>0
两个交点
<0
0 个交点
=0
一个交点
相交 相离 相切
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
直线与圆锥曲线的位置关系 可以通过对直线方程与圆锥 曲线方程组成的二元二次方 程组的解的情况的讨论来研 究。即方程消元后得到一个 一元二次方程，利用判别式 ⊿来讨论
-2
-1
-2
-3
2
4
2.直线L:y=kx+1与椭圆C: x2 y 2 1 5m
恒有公共点,则实数m的取值范围是 ( D )
(A) (0,1) (B) [1, + )
(C) (5,+ )
(D)[1,5) (5,)
3.若直线L:y=ax+1与双曲线: 3x2-y2=1的左、 右两支各有一个公共点,则实数a的取值范围
关于直线与圆锥曲线的交点
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
相切
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
∆=0
相交 ∆>0
一:直线与双曲线位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
X
1.A(3,4)
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的?
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
经过双x2曲 y2线 1的左焦 F1作点倾斜3角为
的弦 AB。求 1AB 设 l的方 y 程 3x为 2 ：
由 y x2 3y x 2 1 2 2x262x70
平行
不平行
直线与抛物 线相交(一个 交点)
计算判别式 判别式大于 0，相交 判别式等于 0，相切 判别式小于 0，相离
判断直线与曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入曲线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与双曲线的渐进线 或抛物线的对称轴平行
计算判别式 >0 =0 <0
相交（一个交点） 相交 相切 相离
AB 1k2 x1x224x1x2
2 7
4 3 2 4 4 2
经过双x2曲 y2线 1的左焦 F1作点 倾斜3角为
的弦 AB 。求 2F2AB 的周长
F2AB的周长 AB AF2 BF2
AB2a AF12aBF1
4a2AB4812
例4. 过 点 P(3,0)的 直 线 l与 双 曲 线 C ： x2y21仅 有 4
[2] l:y4x1 ,c:x2y21 相 交
3
பைடு நூலகம்
9 16
回顾一下:判别式情况如何?
一般情况的研究
显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的, 也就是相交.把直线方程代入双曲线方程,看 看判别式如何?
l:ybxm （ m0） ,c:x2y21
a
a2 b2
判别式 不存在!
当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直线方 程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根 本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所谓 的判别式了 。
特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
一、“画张图”，你是否发现了问题的解 8
7
1．过点(0,1)的直线m与抛物线y2=4x仅有一
个公共点,则满6 足条件的直线m共有 ( c )
(A) 1条 (B5) 2条 (C) 3条 (D) 4条
4
3
2
1
-6
-4
2
2n mn
2m mn
x0
x1 x2 2
n m
n
,
y0
y1 y2 2
m, mn
则由题设得:m 2 ①
一 个 公 共 点 ， 求 直 线 l的 方 程 。
设l的方程y为 k： x3
由 xy2 ky42x314k2x26kx13 0 1 当 4 k 2 0 时 , k 2 , 此 l : y 2 时 x 3
2 当 4k20 时 ,由 6 k244k2 1 3 0 ,
O
X 相离:0个交点
相交:一个交点
Y
O
X
总结 方程组解的个数
交点个数
两个交点 一个交点
相交
相相 切交
0 个交点 相离
>0
两个交点
相交
<0
0 个交点
相离
=0
? 一个交点
相切
相交
直线与抛物线位置关系种类
1、相离；2、相切；3、相交（一个交 点，两个交点）
y
O
x
判断位置关系方法总结 判断直线是否与抛物线的对称轴平行
得 k1 3 ,此 时 l:y1 3 x 3
例5.已知椭圆 mx2ny2 1与直线
c xy 1相交于 AB 两点， 是的 AB 中
o c 点．若 AB2 2 ， 斜率为 2（Ｏ为原点）， 2
求椭圆方程．
分析：本例是一道综合c性比较强的问题，求解 本题要利用中点公式求出点坐标，从而得的斜 率，另外还要用到弦长公式：
是 ( 3, 3) .
“画图”是解题的首要环节.
例1 已知双曲线的中心在原点，且一个焦
点为F ( 7 ,0) ，直线 y x1 与其相交
于M、N两点， MN中点的横坐为 2 ， 3
则此双曲线的方程是______.
解： yx1 b2x2 a2y2 a2b2 (b 2 a 2 )x 2 2 a 2 x a 2 a 2 b 2 0
x1x2
b22a2a2
2 3
解得
a 2 2
b
2
5
所求双曲线方程
x2 y2 1
25
直线与圆锥曲线相交所产生的问题：
一、交点 二、弦长 三、弦的中点的问题
例2.过点P(1,1)与双曲线
x2 9
y2 16
1只有
Y
一个
交点的直线 共有___4____条.
变题:将点P(1,1)改为
（1，1） 。
AB 1k2 x1x2
解：由方程组
mx2 ny2 1
x y 1
消去 y整理得： (m n)x22n xn10
设 A ( x 1 ,y 1 ) 、 B ( x 2 ,y 2 ) 、 C ( x 3 ,y 3 )
则x1
x2
2n m n , x1 x2
n 1 , mn
y1
y2
2 (x1
x2 )