求偏导数的方法小结-求偏导数公式法

求偏导数的方法小结
（应化2，闻庚辰，学号：130911225）
一，一般函数：
计算多元函数的偏导数时，由于变元多，往往计算量较大．在求某一点的偏导数时，一般的计算方法是，先求出偏导函数，再代人这一点的值而得到这一点的偏导数．我们发现，把部分变元的值先代人函数中，减少变元的数量，再计算偏导数，可以减少运算量。

求函数f(x,y)在点（a,b）处的偏导数f’x(a,b)及f’y(a,b)的方法是：
1) 先求出偏导数的函数式，然后将（a,b）代入计算即可.
2) 先求出g(x)=f(x,b)和h(y)=f(a,y),再求出g’(b),h’(a)便得到f’x(a,b)和f’y(a,b).
3) 若函数f(x,y)是分段函数则一般采用定义来做.
复合具体函数的导数求解:
其本质与一元函数的求导法则是一样的，只不过是将暂时不求的变量看成常量而已。

例1 ：z=f(x,y)=(x+y)xy,求f’x（1，1），f’y（1，0）；
法一：设u=x+y,v=xy,则z=u v函数的复合关系为：z是u,v的函数，u,v分别是x,y 的函数.
=xy(x+y)xy-1+y(x+y)xy ln(x+y)
=y(x+y)xy
f’x(x,y)= y(x+y)xy
所以：f’x(1,1)=1+2ln2
由于f(x,y)的表达式中的x,y依次轮换，即x换y成，同时将换y成x，表达式不变，这叫做函数f(x,y)对自变量x,y交换具有轮换对称性。

具有轮换对称性的函数，只要在f’x的表达式中将x,y调换即得到f’y。

即：f’y（x,y）=
y(x+y)xy
所以f’y（1，0）=0
法二：由于和一元函数的求导的实质是一样的。

我们可以不引入中间变量，对某一自变量求导时，只要把其他自变量看成常数即可。

如：
Lnz=xyln(x+y)
上式两边求导得：
所以：f’x(1,1)=1+2ln2
有函数的对称轮换性得：f’y（1，0）=0
例三：我们也可以利用全微分的不变性来解题。

设z=e u sin(v),而u=xy,v=x+y1，1）处的值。

dz=d(e u sin(v))= e u sin(v)du+e u cos(v)dv
du=d(xy)=ydx+xdy
dv=d(x+y)=dx+dy
代入后合并同类项得：
dz=(e u sin(v)y+e u cos(v))dx+(e u sin(v)x+ e u cos(v))dy将点（1，1）代入得：
二，隐函数的求偏导。

求隐函数的偏导时，我们一般有两种方法选择：
1)公式法
2)对函数两边直接求导。

（但必须明确谁是谁的函数）。

然后按复合函数求
导法则来求。

x2为x的平方）
法一：题中有3个自变量，明确了x=x(z),y=x(z),既z是自变量。

我们可以利用公式求但比较繁。

我们可以采用下面的方法：
法二：对方程组两边对求z导得：。