微积分三大中值定理详解

2）唯一性 设另有 x1 (0,1), x1 x 0 , 使 f ( x1 ) 0.
Q f ( x) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的 条件, 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间), 使得 f () 0.
但 f ( x ) 5 x 4 1 0( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
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第四章 中值定理及导数的应用
§4.1 微分中值定理 §4.2 洛必达法则
§4.3 用导数研究函数的单调性、极值、和最 值 §4.4 函数曲线的凹向及拐点
§4.5曲线的渐近线与函数作图
§4.6导数在经济学中的应用
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§4.1 微分中值定理
一、引言
y
A
y f ( x)
B
o
a

b
x
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几何意义:
在两端点高度相同的连续光滑的曲线弧上 ,
若除端点外处处有不垂直于 x 轴的切线 , 则此曲
线弧上至少有一点处的切线是水平的.或者说切
线与端点的连线AB平行.
y A
y f ( x)
B
o
a

b
x
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1、罗尔 ( Rolle ) 定理(R-Th)
1) 在闭区间 [a, b] 上连续; 若函数 f ( x ) 满足： 2) 在开区间 ( a, b) 内可导; 3) f (a ) f (b), 则在 ( a , b) 内至少 有一点 (a b), 使 f ( ) 0.
证明
所以,
f ( ) 0.
证毕.
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注意：罗尔定理的条件组是结论成立的充分条
件，任一条都不是必要条件。
若函数不满足条件组，则不一定有罗尔定
理的结论。
例如,y x 在[11] ，
3
y
y x3
端点的函数值不相 等，即f (1) f (1), 但存在 = 0,使得 f (0) 0.
0 注意：零值定理求函数的零点(函数方程的实根)，
论中的点 ，使得f ( ) 0.
1
1
x
罗尔定理求导数的零点(导数方程的实根)。 题型 1 ：验证定理的正确性。定理结论中的 客观
存在，且可能不唯一，但未给出其具体位置。令导
数为零，求解方程的根，可确定其具体位置。 题型2：找区间(比较复杂)； 题型3：找函数(由结论入手，求解微分方程)
注意：在后面，本题还将用其他方法加以证明。
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2、拉格朗日 (Lagrange) 定理(L-Th)
定理 若函数 f ( x ) 满足： 1) 在闭区间 2) 在开区间
[a, b]上连续;
则在 ( a , b) 内至少有一点
(a b), 使得
y C A a
(a, b) 内可导;
Q (1 , 2 ) (a, b)
∴再由罗尔定理得，
பைடு நூலகம்
存在•• 3 (1 , 2 ) (a, b), 使得••f "(3 ) 0.
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例6
f ( x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，
且f (1) 0, 证明 : 至少存在一点 (0,1)使得 2 f ( ) f ( )sin 2 0. 分析 当 （0，1）时,有2 f ( ) f ( )sin 2 0
二、微分中值定理
1、罗尔(Rolle)定理
2、拉格朗日(Lagrange)定理
3、柯西(Cauchy)定理
三 、小结
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一、引言(Introduction)
导数刻划函数在一点处的变化率，它反映 函数在一点处的局部变化性态；但在理论研究
和实际应用中，还需要把握函数在某区间上的
1
0
1
x
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x2 -1 x 1 再如, f ( x ) 在右端点不连续, x 1 0 但 存在 0, 使得f (0) 0
1
y
1
o
·
1
x
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然而,
y x , x [1,1];
y
y x
在x=0处不可导,也不存在结
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在(2, 1)内至少存在一点1 ,使f (1 ) 0； 在(1,1)内至少存在一点 2 ,使f ( 2 ) 0； 在(1,3)内至少存在一点3 ,使f (3 ) 0. 即 1、 2、3是f ( x) 0的三个实根.
又 Q f ( x) 0为三次方程 它最多只有三个实根这三个实根，它们 分别在区间(-2， -1), (-11), ， (1，内 3) .
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例2 已知f ( x) ( x 2)( x 1)( x 1)( x 3), 不求导 数，试确定f ( x) 0有几个实根及其所在范围.
解 f ( x), f ( x)都是多项式 f ( x)在闭区间[-2， -1]， [-11] ，，，上连续， [1 3] f ( x)在开区间(-2， -1)， (-11) ，，， (1 3)上可导; 且f (2) f (1) f (1) f (3) 0, f ( x)在[-2， -1]， [-11] ，，，上均满足 [1 3] R Th条件.
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例1 设f ( x) 2x 3 5x 2 2x 5, x [1,1], 验证f ( x)是否满足Rolle定理的条件？ 若满足,求出定理中使f ( ) 0的 .
解 f ( x) 2x 3 5x 2 2 x 5
2 f ( x) 6x 10x 2都是多项式；
注：本例中，应用定理的关键是主动找区间。
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例3 设f ( x)在[a, b](0 a b)上连续，在(a, b) 内可导，且f (a) b, f (b) a, 证明在(a, b)内至 f ( ) 少存在一点，使得f ( ) .

f ( x) 分析 f ( x) xf ( x) f ( x) 0 x ( xf ( x)) 0;若令F ( x) xf ( x) 则问题的结论就转化为证明F ( x) 0 构造辅助函数F ( x) xf ( x)，就可以用 罗尔定理来证明。
答
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证明方程 x 5 x 1 0 有且仅有一个正实根 .
1）存在性 设 f ( x ) x 5 x 1, 则 f ( x )在[0,1]连续,且 f (0) 1, f (1) 1.由零点定理
解
答
x 0 (0,1), 使 f ( x 0 ) 0. 即为方程的正实根.
且
即 ∴
F '(x)=f '(x)ex+f(x)ex
e f '()+e f()=0 f()+f '()=0
所以，在(a,b)内至少存在一点 ，有F '()=0
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例5 已知f(x)在区间(a,b)内存在二阶导数， a<x1<x2<x3<b，且f(x1)=f(x2)=f(x3)，试证明 在(a,b)内至少存在一点 ，使f "()=0 证明：∵f(x)在区间(a,b)内二阶可导 ∴f(x)在区间[x1,x2]，[x2,x3]内连续可导 ∵ f(x1)=f(x2)=f(x3) 由罗尔定理，存在 1∈(x1,x2) ， 2∈(x2,x3) 使得f '( 1)=0，f '( 2)=0

.
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例4 设f(x)可导，且f(a)=f(b)=0，试证在(a,b)内 至少存在一点，使f()+f '()=0 证明：构造函数 则 F(x)=f(x)ex F(b)=f(b)eb=0 F(a)=f(a)ea=0
由于F(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导
整体变化性态。 中值定理揭示了函数在某区间上的整体性 质与该区间内某一点导数之间的关系。 中值定理既是利用微分学解决应用问题的
模型，又是解决微分学自身发展的理论基石。
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二、微分中值定理The Mean Value Theorem
在微分中值定理的三个定理中，拉
格朗日 (Lagrange) 中值定理是核心定理， 罗尔中值定理是它的特例，柯西中值定 理是它的推广。 下面我们逐一介绍微分中值定理。
证明 设 F ( x) f ( x) tan x,
显然，F ( x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导 且有F (0) f (0) tan 0 F (1) f (1) tan1 0 所以，F ( x)在[0,1]上满足罗尔定理的条件.
于是，至少存在一点 (0,1),使得F ' ( ) 0, 即2 f ( ) f ( )sin 2 0.
f ( x) C[a, b] max(min) f ( x) M(m) [a, b] 1) 若 M m, 即 f ( x )恒为常数, y y f ( x) f ( x ) 0, 可取(a, b)内任一点作为 ; A B 2) 若 M m, 由 f (a ) f (b) 知, M , m 至少有一个要在 ( a , b) 内取得. x o a b 不妨设 M 在 ( a , b) 内点 处取得, 即 f ( ) M f (a ) f ( x ) f ( )
'
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设f ( x) x 2 2 x 3, x [1,3], 验证 f ( x)是否满足Rolle定理的条件？若满足, 求出定理中使f ( ) 0的 .
Q f ( x) x 2 2 x 3是一个多项式
解
f ( x)在[1,3]上连续,在(1,3)内可导 又f (1) f (3) 0. 因此, f ( x)满足Rolle定理的三个条件.故有 f ( ) 2( 1) 0(1 3), 得 1 即在(1,3)内存在一点 1，使得f ( ) 0.
f ( x)在[1,1]上连续,在(1,1)内可导 且f (1) f (1) 0. f ( x)满足Rolle定理的三个条件.
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2 而 f ( ) 6 10 2 0 (1 1)
5 37 得 1 (1,1)， 6 5 37 2 (1,1) (舍去) 6 在(1,1)内存在一点1，使得f (1 ) 0.
y f ( x)
B
f (b) f (a ) f ( ) (1) ba 或
f (b) f (a) f ( )(b - a) (2)
o


b
x
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几何意义： 在连续、光滑的曲线弧上，除端点外处处有 不垂直于 x 轴的切线，则在曲线弧上至少存在一 点C，在该点处的切线与连接两端点的弦平行. y y f ( x) C
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证明 令F ( x) xf ( x), 则F ( x) xf ( x) f ( x) F ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导， 且端点值相等：F (a) F (b) ab, F ( x)在[a, b]上满足罗尔定理条件，于是 至少存在一点 (a, b)，使得 F ( ) 0, 即 f ( ) f ( ) 0 f ( ) f ( )
f ( ) f ( )sin cos 0
解 答
1 f ( ) f ( )sin 0 cos 1 f ( ) f ( ) tan 0 2 cos
[ f ( x) tan x] x 0
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