11.2.1与三角形有关的角

一块三角尺的内角和是180度，用两块完全 一样的三角尺拼成一个三角形，这个三角形 的内角和是( 180 )度。
小结
拓展
知识的升华
你能根据自己的知识求出四边形和 正六边形的内角和吗？
两个三角形： 180°×2＝360 °
4个三角形： 180°×4＝720°
E B
4.如图：已知在△ABC中， EF与AC交于点G，与BC的延 长线交于点F，∠B=450 ， 0 ， 0 ∠CGF=70 ， A∠F=30 求∠A的度数.
∴ ∠ACD = ∠ BCD = 65 ° ∴ ∠BCD = ∠ACD + ∠ BCD =130 °
1、如图,某同学把一块三角形的玻 璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去 配一块形状完全一样的玻璃,那么最 省事的办法是 ( C )
③
①
②
(A)带①去 (C)带③去
(B)带②去 (D)带①和②去
一 、选择题 (1) 在△ABC中，∠A:∠B:∠C =1:2:3，则∠B =（ B ） A. 300 B. 600 C. 900 D. 1200
C
即 ∠B+∠D+ ∠BCD +∠BAD= 360 °
40 °+40 °+ ∠BCD +150 ° = 360 ° ∴ ∠BCD = 360 °－40 °－40 °－ 150 °
=130 °
B
40 ° 150° 40 °
A
C
另解： 由题意得 在△ABC中
∠BAC＝∠DAC＝75°
∠BCA ＝180 °- ∠BAC - ∠B ＝180 °- 75 ° - 40°= 65 °
2. 如图，一种滑翔伞是左 右对称的四边形ABCD，其 B 中∠A＝150°，∠B＝∠D ＝40°。求∠C的度数。
40 ° 150° 1 2 40 °
A
D
解：在△ABC中 ∠B+∠1+∠BAC=180°
在△ACD中 ∠D+∠2+∠DAC=180° ∴∠B+∠D+∠1+∠2+∠BAC+∠CAD=360 °
(2) 在△ABC中，∠A =500, ∠B =800,则∠C =（ B ）
A. 400
B. 500
C. 100
D. 1100
（3）在△ABC中，∠A =800, ∠B =∠C，则∠B =（ A ） A. 500 二、填空 （1）∠A:∠B:∠C=3:4:5，则∠B = 600 600 750 B. 400 C. 100 D. 450
三角形内角和定理: 三角形的内角和等于1800.
（1）在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °
则∠ C= 102 ° . （2）在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4 则∠A = 40 ° ∠ B= 60 ° ∠ C= 80 ° . （1）一个三角形中最多有 （2）一个三角形中最多有
1 个直角？为什么？
(
等量代换
)
运用三角形内角和定理
例1 如图，在△ABC 中， ∠BAC =40°, ∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数． C
D A B
例题 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛
在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向。从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少 度？ 解： ∠CAB=∠BAD-∠CAD=800-500=300
北
.
.
北 D
50°
C
1
E
2 40°
你能想出一个更简捷的方法来 求∠C的度数吗？ B
A
F
解： 过点C画CF∥AD
∵ CF∥AD, 又AD ∥BE ∴ CF∥ BE
∴ ∠1＝∠DAC＝50 °,
∴∠2＝∠CBE ＝40 ° ∴ ∠ACB＝∠1﹢∠2 ＝50 °﹢ 40 ° ＝90 °
1. 如图，从A处观测C处时仰角 ∠CAD＝30°，从B处观测C 处时仰角∠CBD＝45°。 从C处观测A、B两处时视角 A ∠ACB是多少？
开启
智慧
你还有其他方法来证明三 角形内角和定理吗？
A A S F E C B N P R
添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角
E A
Q M
B 图1 S P Q M B T 图4 N A
C B
D
T 图3
C
E
R
图2
A 3
F 4 C B
A E
1 2
1 2
C
B
D
图5
C
图6
D
…………
思路总结
为了说明三个角的和为1800,转化 为一个平角或同旁内角互补,这种转 化思想是数学中的常用方法.
G C F
这节课你有那些收获?
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想一想
三角形的三个内角和是多少?
任意一个三角形的内角和等于180°.
有什么办法可以验证呢 ? • 方法一:通过具体的度量,验 证三角形的内角和为180°.
方法二:剪拼法.
A
B
C
三角形的三个内角和等于180°
结论对任意三角形都成立吗？
A
E
A 2 1 3
F
已知：△ABC 求证：∠A+ ∠B+ ∠C=180°
于是∠A=∠1(两直线平行，内错角相等) A ∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等) 。 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义) ∴∠A+∠B+∠ACB=180°
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。 2
？ ？
？
E
×
(等量代换 ？ )
B
C
×
证明:过A作AE∥BC， ∴∠C=∠CAE (两直线平行,内错角相等) ∠EAC+∠BAC+∠B=180° (两直线平行,同旁内角互补) 方 法 ∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换) 三
1 个钝角？为什么？
（3）一个三角形中至少有
2 个锐角？为什么？
（4）任意 一个三角形中，最大的一个角的度数至少 为 60° .
例题评析
如图,AC、BD相交于点O, ∠A+∠B=∠C+∠D吗？为什么？
A
B 1 O 2 C D
解： ∠A+∠B=∠C+∠D 在⊿AOB中 ∠A+∠B+∠AOB=180° ∴∠A+∠B=180°-∠AOB 在⊿COD中 ∠C+∠D+∠COD=180° ∴∠C+∠D=180°-∠COD ∵∠AOB与∠COD是对顶角 ∴∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D
B
C 证明：过A作EF∥BC， ∴∠B=∠2 (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠3 (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠3+∠BAC=180° (平角的定义) ∴∠B+∠C+∠BAC=180°
(等量代换)
A
已知：△ABC
求证：∠A+ ∠B+ ∠C=180°
C A
B
证明：作BC的延长线CD， 过C作CE∥BA，
A
E
B
C
证明:过⊿ABC的两个锐角作BC的垂线BD和CE,过 点A作BD的平行线AF.由图可知BD∥AF∥CE. ∴∠BAF=∠ABD ∠ECA=∠FAC D A E (两条直线平行,内错角相等.) 方 法∴ ⊿ABC的三个内角 四 B C ∠A+∠B+∠C=∠ABC+∠ACB+ ∠BAF+ F ∠FAC= =∠DBA+∠ABC+∠ACB+∠ACE= 90°+90°=180°
C
B
D
解：在△ACD中 ∠CAD ＝30 ° ∠D ＝90 ° ∴ ∠ACD =180 ° －30 ° －90 °=6 0 ° 在△BCD中 ∠CBD = 45 ° ∠D ＝90 ° ∴ ∠BCD = 180 °－90°－45 °=45 ° ∴ ∠ACB = ∠ACD －∠BCD = 6 0 °－45 ° ＝15°
北
还有其 它方法 吗？
D
A
.
由AD∥BE，可得 E ∠BAD＋∠ABE=1800 0－∠BAD 所以∠ ABE=180 C =1800－800＝1000 ∠ABC=∠ABE－∠EBC =1000－400＝600 B 在ΔABC中， 东∠ACB=1800-∠ABC－∠CAB =1800－600-300＝900 答：从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是900 。
（2）∠C =900，∠A =300，则∠B =
（3）∠B =800，∠A =3∠C，则∠A =
3. 在△ABC中，已知∠A-∠C=250，∠B∠A=100，求∠B的度数.
分析：根据三角形内角和定理可知： ∠A+∠B+∠C=1800，然后结合已知条件便可以求出 . 解：在△ABC中，
∠A+∠B+∠C=1800（三角形內角和定理） 联立∠A-∠C=250，∠B-∠A=100可得， ∠A=650，∠B=750，∠C=400 答：∠B的度数是750.