相交线中的角
【课 题】4.7.2 相交线――相交线中的角
班级_______ 姓名_______ 学号____ 完成日期2019年__月__日
【学习目标】1、了解两条直线被第三条直线所截，所得八个角的特征；
2、能识别同位角、内错角、同旁内角.
【学习重点】1、在复杂的图形中如何识别截线和被截直线。
2、在复杂的图形中如何识别同位角、内错角及同旁内角。
【学习难点】1、区别“两条直线相交”和“两条直线被第三条直线所截”；
2、同位角、内错角及同旁内角的位置特征。
【学习过程】 一定向·诱导
1．如图，直线AB 和直线CD 相交，可得到几个角？图中共有几对
对顶角？几对邻补角？ 二、自学·探究 自学课本163至165页内容，回答下列问题。
两条直线被第三条直线所截，构成八个角，简称“ ”。没有公共顶点的
两个角的位置关系主要有三种：
（1）在两条被截直线的同旁，且在截线的同侧，这样的一对角叫 ；
（2）在两条被截直线的内部，且在截线的两侧，这样的一对角叫 ；
（3）在两条被截直线的内部，且在截线的同侧，这样的一对角叫 。
三、讨论·解疑 如图所示，指出图中的同位角，内错角和同旁内角。
同位角：
内错角：
同旁内角： 四
反馈·总结
反馈：1.做课本165、166页练习。
2.（1）∠1与∠4是一对 角，具有同样位置关系的两个角还有 。
（2
3. （1（2 （3 F
总结：两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角及同旁内角的位置特征。 A B
C D O A B C D
E
相交线成的角优秀教学设计
相交线中的角 在一个平面内，一条直线l与两条直线a、b分别相交于点P、Q，可以说成“直线l截a、b 于点P、Q”。两条直线相交，可得四个角；两条直线被另一条直线所截，可得八个角。 如图4.7.8，直线l截直线a、b，得到∠1、∠2、…、∠8。 图4.7.8 其中的∠1与∠5这样位置的一对角是同位角(corresponding angles)。在图4.7.8中，∠2与∠6也是同位角。图中除了∠1与∠5、∠2与∠6是同位角外，还有没有其他的同位角？如图4.7.8中，∠3与∠5这样位置的一对角是内错角(alternate interior angles)。图中除了∠3与∠5是内错角外，还有没有其他的内错角？ 如图4.7.8中，∠4与∠5这样位置的一对角是同旁内角(interior angles on same side)。 图中除了∠4与∠5是同旁内角外，还有没有其他的同旁内角？ 试一试： 在图4.7.9中，∠1是直线a、b相交所成的一个角， 用量角器量出∠1的度数；画一条直线c，使直线c与 直线b相交所成的角∠2与∠1为一对同位角，且这对 同位角度数相等。 图4.7.9 练习 1．如图，直线a截直线b、c 所得的同位角有对，他们是，内错角有对，他们是，同旁内角有对，他们是。
（第1题） 2．如图，与∠1是同位角的角是，与∠1是内错角的角是，与∠1是同旁内角的角是。 （第2题） 3．如图，∠1与∠3是同位角吗？∠2与∠4是同位角吗？ （第3题） 习题4.7 1．我们知道2条直线只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，如图。5条直线两两相交最多能有多少个交点？6条直线呢？…，10条直线呢？ （第1题） 2．如图，已知直线AB以及直线AB外一点P。按下述要求画图并填空： （1）过点P作PC⊥AB，垂足为点C； （2）P、C两点间的距离是线段的长度；
线段、角、相交线与平行线(含命题)
第16课时线段、角、相交线与平 行线（含命题） 知识点： 两点确定一条直线、相交线、线段、射线、线段的大小比较、线段的和与差、线段的中点、角、角的度量、角的平分线、锐角、直角、钝角、平角、周角、对顶角、邻角、余角、补角、点到直线的距离、同位角、内错角、同旁内角、平行线、平行线的性质及判定、命题、定义、公理、定理 教学目标： 1．了解直线、线段和射线等概概念的区别，两条相交直线确定一个交点，解线段和与差及线段的中点、两点间的距离、角、周角、平角、直角、锐角、钝角等概念，掌握两点确定一条直线的性质，角平分线的概念，度、分、秒的换算，几何图形的符号表示法，会根据几何语句准确、整洁地画出相应的图形； 2．了解斜线、斜线段、命题、定义、公理、定理及平行线等概念，了解垂线段最短的性质，平行线的基本性质，理解对顶角、补角、邻补角的概 念，理解对顶角的性质，同角或等角的补角相等的性质，掌握垂线、垂 线段、点到直线的距离等概念，会识辨别同位角、内错角和同旁内角， 会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 等性质进行推理和计算，会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互 补判定两条直线平行 教学重难点： 1、了解垂线段最短的性质，平行线的基本性质，理解对顶角、补角、邻补角的概念，理解对顶角的性质，同角或等角的补角相等的性质，掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念。 2、会识辨别同位角、内错角和同旁内角，会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算，会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互补判定两条直线平行 教学过程：
2. 线段中点(2011版新课标新增内容) （1）定义：若点B在线段AC上，且把线段AC分 成相等的两条线段AB与BC，点B叫做线段AC的中点. 如图 （2）线段中点的几何表示：AB=②_____= AC, 或AC=2AB＝2BC. 3. 两点之间的距离: 连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离 考点2 角及角平分线 1.角：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一位置时所成的图形叫做角.如图（2），记作∠AOB. 2. 角平分线的概念及其定理 （1）定义：以一个角的顶点为端点的一条射线， 如果把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做该角的角平分线. 如图（3），若OC平分∠AOB，则∠AOC=③______= ∠ AOB. 2）定理：角平分线上的点到角两边的距离 ④_____.如图（3），若OC平分∠AOB,点P在OC上，且PM⊥OA，PN⊥OB,则PM=⑤_____. （3）逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在⑥________上. 1周角＝2平角＝4直角＝④_____; 1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°； 1°＝60′,1′=60″,1′= ,1″= . 5. 余角和补角 (1）余角的定义:如果两个角的和等于一个直角，那么说这两个角互为余角（简称互余)，也说其中一个角是另一个角的1余角. （2）补角的定义：如果两个角的和等于一个平角，那么说这两个角互为补角（简称互补)，也说其中一个角是另一个角的补角. （3）余角与补角的性质：同角（或等角)的余角相等，同角（或等角)的补角相等. 考点3 相交线 1. 两相交直线所成的角 (1)对顶角和邻补角 对顶角：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线. 如图(4)，∠1与∠3，∠2与∠4都是对顶角.对顶角的性质： 对顶角?_____. 邻补角：两个角有一个公共顶点和一
相交线与平行线的基本概念
8765432 1a b c b c a 1234567822211121 D. C.B.A.相交线与平行线 一、知识提要 1． 有一条公共边,另一边互为反向延长线,具有这样关系的两个角互为邻补角; 有公共顶点,另两条边互为反向延长线,具有这样位置关系的两个角互为对顶角; 与为90度的两个角互为余角,与为180度的两个角互为补角; 余角与补角都就是大小角、同位角、内错角、同旁内角就是位置角、 2． 定理①对顶角相等;②同角或等角的余角相等;③同角或等角的补角相等、 3． 平行的两个定理 ① 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行; ② 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也平行、 简记为:如果b //a ,c //a ,那么b //c 、 4． 垂直的两个定理 ① 平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; ② 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短、 5． 认识同位角、内错角、同旁内角、 二、精讲精练 1. 如图,∠1与∠2就是对顶角的就是( ) 2. 下列说法正确的个数就是( ) ①若∠1与∠2就是对顶角,则∠1＝∠2; ②若∠1与∠2就是邻补角,则∠1＝∠2; ③若∠1与∠2不就是对顶角,则∠1≠∠2; ④若∠1与∠2不就是邻补角,则∠1＋∠2≠180°、 A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 3. 下列说法中正确的个数为( ) ①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 ②经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ④平行同一直线的两直线平行 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4. 下列推理正确的就是( ) A .因a ⊥b ,b ⊥c ,故a //c B .因a ⊥b ,b //c ,故a //c C .因a //b ,b ⊥c ,故a //c
初中数学专题线段、角、相交线与平行线(含答案)
第27课时线段、角、相交线与平行线 ◆考点聚焦 1．运用两点确定一条直线解决实际问题． 2．会比较角的大小，掌握角的表示法，能进行角的有关计算． 3．明确线段、直线、射线的概念及区别与联系，线段的表示方法，?会进行有关线段的计算． 4．掌握角平分线的定义及性质． 5．掌握两角互余、互补的概念，并能进行有关计算． 6．掌握对顶角、同位角、内错角、同旁内角等概念． 7．掌握平行线的性质与判定，并能运用这些知识进行有关计算或推理． 8．掌握两条直线垂直的概念． ◆备考兵法 1．能运用方程思想解决互余、互补、平行线的性质以及三角形内、?外角和等知识和一些有关计算线段、角的问题． 2．在进行角的计算时，要注意单位的换算，即1°=60′，1′=60″． 3．要注意区分平行线的判定与性质，不要混淆滥用． ◆识记巩固 1．直线公理是指____________． 2．在田径比赛中，裁判测量跳远成绩的依据是______，?测量铅球成绩的依据是______________________． 3．两点之间_______最短，_________叫做两点间的距离． 4．线段的中点：由点M是线段AB的中点可得到__________． 5．角是___________________． 6．角平分线及性质：（1）如图1，OC平分∠AOB,可推出___________．
图1 图2 （2）如图2，由OC 平分∠AOB ，PM OA PN OB ⊥??⊥? 可得___________． 7．两直线相交，________相等；同角（或等角）的余角_______；同角（或等角）的补角________．两个角的和为90°，称这两个角_________；两个角的和为180°，称这两个角________． 8．点到直线的距离是_____________． 9．线段的垂直平分线的性质是_________． 10．两直线平行，同位角_______；两直线平行，内错角______；两直线平行，?同旁内角_______． 识记巩固参考答案: 1．两点确定一条直线 2．垂线段最短 两点之间，线段最短 3．线段 ?连结两点之间线段的长度 4．AM=BM=AB 5．由有公共端点的两条射线组成的图形或一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 6．（1）∠AOC=∠BOC=∠AOB （2）PM=PN 7．对顶角 相等 相等 互余 互补 8．从直线外一点向已知直线作垂线，?这一点和垂足之间线段的长度 9．?线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ? 10．相等 相等 互补
数学复习-线段、角、相交线、平行线
线段、角、相交线、平行线 知识点: 一、直线：直线是几何中不加定义的基本概念，直线的两大特征是“直”和“向两方无限延伸”。 二、直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，直线的这条性质是以公理的形式给出的，可简述为：过两点有且只有一条直线，两直线相交，只有一个交点。 三、射线： 1、射线的定义：直线上一点和它们的一旁的部分叫做射线。 2 ?射线的特征：向一方无限延伸，匕有一个端点。 四、线段： 1、线段的定义：直线上两点和它之间的部分叫做线段，这两点叫做线段的端点。 2、线段的性质(公理)：所有连接两点的线中，线段最短。 五、线段的中点： 1、定义如图1 一1中，点B把线段AC分成两条相等的线段，点B叫做线段图1—1AC 的中点。 2、表示法: ?「AB = BC 丸口 A B ???点B为AC的中点 1图1-1 或??? AB = - MAC 2 ???点B为AC的中点，或T AC = 2AB，?点B为AC的中点 反之也成立 「?点B为AC的中点，? AB = BC 1 或「?点B为AC的中点，? AB= —AC 2 或「?点B为AC的中点，? AC=2BC 六、角 1、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。要弄清定义中的两个重点①角是由两条射线组成的图形；②这两条射线必须有一个公共端点。另一种是 条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。可以看出在起始位置的射线与 终止位置的射线就形成了一个角。 2?角的平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线 叫做这个角的平分线。表示法有三种：如图 1 —2 (1)/ AOC = / BOC (2)Z AOB = 2 / AOC = 2 / COB 1 (3)/ AOC = Z COB= / AOB 2 七、角的度量：度量角的大小，可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份, 每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。 八、角的分类： (1)锐角：小于直角的角叫做锐角 (2)直角：平角的一半叫做直角 (3)钝角：大于直角而小于平角的角 (4)平角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终止位置和起始位置成一直线时，所成
角、相交线与平行线
角、相交线与平行 1.平行线的性质. 【例1】如图,BC⊥AE于点C,CD∥AB,∠B=55°,则∠1等于(). A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 【例2】如图,把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20°,那么∠2的度数是(). A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 【例3】如图,直线l1∥l2,l3⊥l4,∠1=44°,那么∠2的度数(). A. 46° B. 44° C. 36° D. 22° 2.平行线的判定. 【例4】(2014·湖南湘潭)如图,直线a,b被直线c所截,若满足,则a,b平行. 名师点拨 1.能记住点、线、面的概念. 2.能利用角的概念判断角的大小及角的表示方法;会进行角的换算;能正确区分角的大小;会进行角的和、差运算.
3.能区分补角、余角的概念,记住补角、余角的性质. 4.掌握角平分线定理和线段垂直平分线定理并能正确使用. 5.会画直线的垂线;能区分垂线、垂线段的联系与区别. 6.掌握平行的概念,会进行平行线的判断. 7.能利用直尺画直线的平行线;会作两平行线间的距离;能确定并准确度量两平行线间的距离. 【例1】如图,△ABC中,∠A=90°,点D在边AC上,DE∥BC.若∠1=155°,则∠B的度数为. 2.平行线的性质和判定的应用. 主要理解和掌握:(1)平行线的性质;(2)平行线的判定. 【例2】如图,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠P AB,∠PCD的关系,请你从所得到的关系中任选一个加以证明. 专项训练 一、选择题 1. (2014·四川峨眉山二模)如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠COB.若∠BOD=70°,则∠COE的度数是(). A. 45° B. 70° C. 55° D. 110° (第1题)
2.3 相交线中的角汇总
2.3 相交线中的角 【知识精华点击】 课标要求 1.理解同位角、内错角、同旁内角的意义。 2.会熟练地识别图中的同位角、内错角、同旁内角. 本节重点是同位角、内错角、同旁内角的识别. 难点：较复杂图形中同位角、内错角、同旁内角的识别. 教材详解 1.三线八角 两条直线被第三条直线所截，构成了八个角，一般称为“三线八角”。如图2.3-1，两条直线被第三条直线所截，除构成了四对对顶角和八对邻补角外，还构成了∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8这四对同位角，∠2与∠8、∠3与∠5这两对内错角，∠2与∠5、∠3与∠8这两对同旁内角。 2. 同位角、内错角、同旁内角 同位角、内错角、同旁内角，指的是两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，没有公共顶点的两个角之间的特殊位置关系，如图2.3-1， ∠1和∠5，分别在直线AB 、CD 的同一方，在直线EF 的同侧。具有这种位置关系的一对角叫做同位角。 ∠3和∠5，分别在直线AB 、CD 之间，在直线EF 的两侧。具有这种位置关系的一对角叫做内错角。 ∠3和∠6，分别在直线AB 、CD 之间，在直线EF 的同一 旁。具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角。 图2.3-1 3. 同位角、内错角、同旁内角的辨别 同位角、内错角与同旁内角都反映角与角之间的位置关系，它们总是成对出现，且任意一对角必须同时满足两个条件： （1）都是两条直线被第三条直线所截而成； （2）无公共顶点。 因此，不管被截的两条直线是否平行，都存在同位角、内错角和同旁内角。“一边共线”是这三类角的基本特征。识别这三类角的关键是：首先要搞清组成某一对角的三条直线中哪些是“两条直线”（被截线），哪条是“第三条直线”（截线）。弄清截线与被截线。最简单的方法是： 两个角公共边所在的直线是截线，共余两边所在直线是被截线。
教案(相交线中的角)
福建省厦门市第六中学数学学科教案
教学内容、过程安排 （包括德育渗透、教学方法、教学手段、学法指导等） 分析、评价 反思、体会一.创设情境 师: 请同学们在纸上画相交两直线，想一想？两直线a、b相 交可以得几个角？图中的哪两个角之间有关系（如图）？ 生：两条直线相交，可得四个角，有四对互为补角，有两对 对顶角. 师：在上图的基础上，如果再增添第三条直线（如图），那 么在一个平面内，一条直线l都与两条直线a、b相交，也可以说成 “直线l截直线a、b于两点”.这时图中由几个角呢? 生：两条直线被另一条直线所截，可得八个角. 二.探索归纳 师：我们可以观察到图中有些角的位置表现出具有相同的特 点来（根据两个角位置，研究同位角、内错角、同旁内角）？ 生：图中的∠1与∠5或∠2与∠6（学生自由寻找）. 师：为什么想到了∠1与∠5，你是用什么标准确定的呢？ 生：这两角都在直线a、b的上方，又都在直线l的同侧. 师: 请大家为∠1与∠5取一个名字好吗？ 生: 因为位置相同的缘故，可称∠1和∠5是同位角 （corresponding angles）. 师: 图中还有其他同位角吗？你是怎么想的？ 生: ∠2与∠6，∠3与∠8，∠4与∠7. 师: 图中的∠3与∠6是同位角吗？你能说说理由吗？ 生:不是同位角，它们在直线a、b的内部，分居在直线l的两 侧. 师：你认为∠3与∠6应该取什么名称好呢? 生：∠3与∠6称为内错角（alternate interior angles）. 师：图中还有其他内错角吗？ 生: ∠4与∠5也是内错角. 师: 图中的∠4与∠6是同位角，内错角吗？ 生：都不是，∠4与∠6都在直线a、b的内部，又都在直线l的同 旁，
(完整版)第五章相交线与平行线知识点整理
相交线与平行线知识点整理 5.1相交线 1、邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： ⑵如果αβ∠∠与是对顶角，那么一定有αβ∠=∠；反之如果αβ∠=∠，那么αβ∠∠与不一定是对顶角； ⑶如果αβ∠∠与互为邻补角，则一定有180αβ∠+∠=?；反之如果180αβ∠+∠=?，则αβ∠∠与不一定是邻补角。⑷两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。 2、垂线 ⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号语言记作： 如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O ⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 简称：垂线段最短。 3、垂线的画法：直线，垂足，直角记号 ⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上， ⑶三画：沿着这条直角边画直线，不要画成给人的印象是线段的线。 4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 记得时候应该结合图形进行记忆。 如图，PO ⊥AB ，同P 到直线AB 的距离是PO 的长。PO 是垂线段。PO 是点P 到 直线AB 所有线段中最短的一条。现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。 5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 ⑴垂线与垂线段 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。 联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质) ⑵两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。 ⑶线段与距离 距离是线段的长度，是一个量； 线段是一种图形，它们之间不能等同。 ?P A B O A B C D O
平行线与相交线知识点
平行线与相交线知识点 1. 相交线 同一平面中，两条直线的位置有两种情况： 相交：如图所示，直线AB 与直线CD 相交于点O ，其中以O 为顶点共有4个角： ∠1，∠2，∠3，∠4； 邻补角：其中∠1和∠2有一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。像∠1和∠2这样的角我们称他们互为邻补角； 对顶角：∠1和∠3有一个公共的顶点O ，并且∠1的两边分别是∠3两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角； ∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，因为同角的补角相等，所以∠1＝∠3。 所以，对顶角相等 例题： 1.如图，3∠1＝2∠3，求∠1，∠2，∠3，∠4的度数。 2.如图，直线AB 、CD 、EF 相交于O ，且AB CD ⊥，∠=?127，则∠=2_______，∠=FOB __________。 C E A 2 O B 1 F D 垂直：垂直是相交的一种特殊情况两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。如图所示，图中AB ⊥CD ，垂足为O 。垂直的两条直线共形成四个直角，每个直角都是90?。 例题： 如图，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 经过点O ，∠1＝26?，求∠EOD ，∠2，∠3的度数。(思考：∠EOD 可否用途中所示的∠4表示？) 垂线相关的基本性质： （1） 经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； （2） 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （3） 从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 例题：假设你在游泳池中的P 点游泳，AC 是泳池的岸，如果此时你的腿抽筋了，你会选择那条路线游向岸边？为什么？
相交线与平行线的基本概念
87 65432 1a b c b c a 123 4567 82 22 11 12 1 D. C. B. A. 相交线与平行线 一、知识提要 1． 有一条公共边，另一边互为反向延长线，具有这样关系的两个角互为邻补角； 有公共顶点，另两条边互为反向延长线，具有这样位置关系的两个角互为对顶角； 和为90度的两个角互为余角，和为180度的两个角互为补角； 余角和补角都是大小角.同位角、内错角、同旁内角是位置角. 2． 定理①对顶角相等；②同角或等角的余角相等；③同角或等角的补角相等. 3． 平行的两个定理 ① 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； ② 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行. 简记为：如果b //a ，c //a ，那么b //c . 4． 垂直的两个定理 ① 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ② 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 5． 认识同位角、内错角、同旁内角. 二、精讲精练 1. 如图，∠1和∠2是对顶角的是（ ） 2. 下列说法正确的个数是（ ） ①若∠1与∠2是对顶角，则∠1＝∠2； ②若∠1与∠2是邻补角，则∠1＝∠2； ③若∠1与∠2不是对顶角，则∠1≠∠2； ④若∠1与∠2不是邻补角，则∠1＋∠2≠180°. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3. 下列说法中正确的个数为（ ） ①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 ②经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
图1 O D C B A 图2l 3 l 2 l 187 65432 1图5 F B D E C O A 图34 32 1 图4E 876 54321 B D A O ③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ④平行同一直线的两直线平行 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4. 下列推理正确的是（ ） A ．因a ⊥b ，b ⊥c ，故a //c B ．因a ⊥b ，b //c ，故a //c C ．因a //b ，b ⊥c ，故a //c D ．因a ⊥b ，b //c ，故a ⊥c 5. 如果直线a //b ，b //c ，那么a //c ，这个推理的根据是（ ） A .等量代换 B .平行线定义 C .平行于同一直线的两直线平行 D .经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 6. 直线a 外有一定点A ，A 到a 的距离是5cm ，P 是直线a 上的任意一点，则（ ） A ．AP >5cm B ．AP ≥5cm C ．AP =5cm D ．AP <5cm 7. 平面上两条直线的位置关系只有两种，即 和 . 8. 如图1，直线AB 、CD 相交于O ，对顶角有 对， ∠AOD 的邻补角是 . 9. 如图2，直线l 1、l 2和l 3相交构成8个角，已知∠1＝∠5，则与∠5相等的角有 个，是 ，与∠5互补的角有 个，是 . 10. 如图3，在所标识的角中，对顶角是 ，同位角 是 ，同旁内角是 . 11. 如图4，直线DE 与∠O 的两边相交，则∠O 的同位角是 ；∠8 的内错角是 ；∠1的同旁内角是 ． 12. 如图5，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠AOE 的对顶角是 ，∠COF 的邻补角是 ，若∠AOC ：∠AOE =2：3，∠EOD =130°，则∠BOC = .
相交线与平行线知识点整理1
七年级数学(下)期末复习知识点整理 5.1相交线 1、邻补角与对顶角 注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。 ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。 2、垂线 ⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号语言记作： 如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O ⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 3、垂线的画法： ⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。 注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。 A B C D O
画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。 4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 记得时候应该结合图形进行记忆。 如图，PO ⊥AB ，同P 到直线AB 的距离是PO 的长。PO 是垂线段。PO 是点P 到直线AB 所有线段中最短的一条。 现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。 5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别 ⑴垂线与垂线段 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。 联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质) ⑵两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。 ⑶线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。 5.2平行线 1、平行线的概念： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b 。 2、两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线） 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线） 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 P A B O
(七年级讲义)相交线与角度计算
七年级讲义：相交线与角度计算（1） 【知识提要】 1．相交线 解读：（1）两直线相交，只有一个交点； （2）两条直线相交，产生4个小于平角的角。 2．对顶角 解读：（1）对顶角是两个角； （2）对顶角相等； （3）对顶角是一种数量关系，也是一种位置关系。 3．邻补角 解读：（1）邻补角是两个角； （2）邻补角互补； （3）邻补角是一种数量关系，也是一种位置关系。 4．垂直：两条直线相交所得的角中，有一个是直角，称这两条直线垂直。 解读：（1）垂直是一种特殊的相交； （2）垂直的两条直线，产生的4个角均为直角。 （3）表示方法（如图）：BC AD ⊥于点D ，点D 称为垂足。 训练： 1．两条直线相交，产生_____个交点，_____对对顶角，_____对邻补角； 2．如图，三条直线AB 、CD 、EF 两两相交于点O 、M 、N ，则图中对顶角有_____对，邻补角有_____对； 【基础训练】 1．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE 平分AOD ∠，?=∠100COB ，则 _____=∠AOE ，_____=∠EOC ； 2．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，CD OE ⊥，?=∠-∠50AOE DOB ，求：∠AOE 和∠AOC 的度数； 例 1.如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OF 平分AOD ∠，1:4:=∠∠BOE DOE ，?-∠=∠15AOF AOC ，求FOE ∠的度数。 训练： A A A
A B C D E 1．如图，点O 在直线AC 上，OD 平分AOB ∠，BOE EOC ∠=∠2， ?=∠72DOE ，求EOC ∠的度数。 2．如图，BD 平分ABC ∠，BE 分ABC ∠的二部分之比为4:3，若?=∠8DBE ，求ABC ∠的度数。 例2：长方形如图折叠，D 点折叠到'D 的位置，已知?=∠88'FC D ，则_____=∠FED ； 训练： 1．某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西50°如图，把这枚指 针按逆时针方向旋转90°，则指针的指向为 （ ） A 、南偏东50° B 、西偏北50° C 、南偏东40° D 、东南方向 2．已知O 为直线AB 上的一点，∠COE 是直角， OF 平分∠AOE. （1）如图1，若?=∠34COF ，则_______=∠BOE ； 若?=∠m COF ，则_______=∠BOE ；BOE ∠与COF ∠的数量关系为__________； （2）当射线OE 绕点O 逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中BOE ∠与COF ∠的数量关系是否仍然成立？请说明理由。 （3）在图3中，若∠COF ＝65°，在∠BOE 的内部是否存在一条射线OD ，使 得2∠BOD 与∠AOF 的和等于 A D C B F D'
华师大版-数学-七年级上册-相交线中的角 同步作业(含答案)
相交线中的角 ◆随堂检测 1、如图，∠1和∠4是______角，∠1和∠3是_____角，∠2和∠D是____角，∠4和∠D 是_____角。 (第1题) (第2题) (第3题) 2、如图所示，∠1与∠2是______角，∠1与∠3是______角，∠2与∠3是______角。 3、如图所示，若∠1=30°，∠2=110°，那么，∠3的同位角等于_______，∠3?的内错角 等于______，∠3的同旁内角等于_______。 4、在下图中，∠1与∠2不是同位角的是（） 5、如图所示，下列判断正确的是（） A、2对同位角，2对内错角，2对同旁内角 B、2对同位角，2对内错角，3对同旁内角 C、4对同位角，2对内错角，4对同旁内角 D、以上判断均不正确 ◆典例分析 例：如图所示，请指出图中的同位角、内错角和同旁内角。 解：如图所示，由图（1）知：∠A和∠DCE是同位角，∠A和∠ACD 是同旁内角； 由图（2）知：∠B和∠BCD是内错角； 由图（3）知：∠A和∠BCE是同位角，∠B和∠BCE是内错角，∠A和∠B，∠A?和∠ACB，∠B和∠ACB分别是同旁内角。
评析：在判断同位角、内错角和同旁内角这三类角时，关键是抓住哪两条直线被哪一条直线所截，因此我们可以将复杂图形简单化。（如上图） ◆课下作业 ●拓展提高 1、如图，（1）∠ABC与∠______是同位角，∠ABC与∠_____是同旁 内角；（2）?∠ADB与∠_____是内错角；（3）∠ABD与∠_____ 是内错角，∠ADC与∠____是内错角。 2、如图所示：（1）AD，BC被BD所截而成的内错角是___________； （2）CD，AE被AC所截而成的内错角是___________； （3）AD，BF被AE所截而成的同位角是___________； （4）BD，AE被AD所截而成的同旁内角是_________。 3、如图，四个图形中的∠1和∠2不是同位角的是（） 4、如图所示，图中同旁内角的对数是（） A、15 B、27 C、30 D、39 5、两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠3是∠2的内错角，若∠1=3∠2， ∠2=3∠3，求∠1，∠2的度数。
021.线段、角、相交线与平行线
1.（2014山东省枣庄市，3,3分）如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=340，∠DEC=900，则∠D的度数为（） A．170B．340 C．560D．1240 【答案】C 2.（2014甘肃省白银市，5，3分）将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有（） A．4个B．3个C．2个D．1个 考点：平行线的性质；余角和补角． 分析：由互余的定义、平行线的性质，利用等量代换求解即可． 解答：解：∵斜边与这根直尺平行， ∴∠α=∠2， 又∵∠1+∠2=90°， ∴∠1+∠α=90°， 又∠α+∠3=90° ∴与α互余的角为∠1和∠3． 故选C． 点评：此题考查的是对平行线的性质的理解，目的是找出与∠α和为90°的角． 3.（2014河北省，4，2分）如图2，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图）， 则a，b相交所成的锐角是（） A．20°B．30°C．70°D．80°
4.（2014湖北省十堰市，2，3分）如图，直线m∥n，则∠α为（） A．70°B．65°C．50°D．40° 【答案】C 5.（2014山东省济宁市，3，3分）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程.用几何知识解释其道理正确的是 A．两点确定一条直线B．垂线段最短 C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边 【考点】线段的性质：两点之间线段最短 【解析】选C. 根据数学知识，连接两点的所有线中，线段最短，即两点之间线段最短解答． 6（2014山东淄博9，4分）如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A—B—F—C的路径行走至C，乙沿着A—F—E—C—D的路径行走至D，丙沿着A—F—C—D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（） A．甲乙丙B．甲丙乙C．乙丙甲D．丙甲乙 【答案】B 7.（2014湖北荆门3，3分）如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF＝70°，则∠F AG的度数是( ) A．155°B．145°C．110°D．35° F A B G E C D 第3题图 【答案】B 8.（2014陕西省，7，3分）如图，AB//CD，∠A=45°，∠C=28°，则∠AEC的大小为（） A．17°B．62°C．63°D．73° 【答案】D 9（2014湖北省咸宁市，5，3分）如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1= 20°， 则∠2的度数为（） A．60°B．45°C．40°D．30°
相交线和平行线重难点
(1) O D C B A 七年级数学第五章相交线和平行线重难点 5.1相交线 [教学重点与难点] 重点:对顶角的概念.对顶角性质与应用 难点:理解对顶角相等的性质的探索 [教学设计]一.创设情境 激发好奇 观察剪刀剪布的过程，引入两条相交直线所成的角 在我们的生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线，本章要研究相交线所成的角和它的特征。 教师出示一块布片和一把剪刀,表演剪刀剪布过程,提出问题: 剪布时，用力握紧把手，两个把手之间的的角发生了什么变化？剪刀开的口又怎么变化？ (学生观察、思考、回答),得出: 握紧把手时,随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀刃之间的角边相应变小. 如果改变用力方向,随着两个把手之间的角逐渐变大,剪刀刃之间的角也相应变大. 教师点评:如果把剪刀的构造看作两条相交的直线,以上就关系到两条相交直线所成的角的问题,本节课就是探讨两条相交线所成的角及其特征. 二．认识邻补角和对顶角，探索对顶角性质 1．学生画直线AB 、CD 相交于点O ，并说出图中4个角，两两相配 共能组成几对角？根据不同的位置怎么将它们分类？ 学生思考并在小组交流，全班交流。 当学生直观地感知角有“相邻”、“对顶”关系时，教师引导学生用 几何语言准确表达 延长线它们的另一边互为反向有一条公共边与OA ，AOD AOC ∠∠； BOD AOC ∠∠与有公共的顶点O ，而且AOC ∠的两边分别是BOD ∠两边的反向延长线 2．学生用量角器分别量一量各角的度数，发现各类角的度数有什么关系？ （学生得出结论：相邻关系的两个角互补，对顶的两个角相等） 两条直线相交 所形成的角 分类 位置关系 数量关系 教师提问：如果改变的大小，会改变它与其它角的位置关系和数量关系吗? 4．概括形成邻补角、对顶角概念和对顶角的性质 三．初步应用 练习： 下列说法对不对 （1） 邻补角可以看成是平角被过它顶点的一条射线分成的两个角 （2） 邻补角是互补的两个角，互补的两个角是邻补角 （3） 对顶角相等，相等的两个角是对顶角 学生利用对顶角相等的性质解释剪刀剪布过程中所看到的现象 四．巩固运用例题：如图，直线a,b 相交， 401=∠，求4,3,2∠∠∠的度数。
相交线与平行线知识点总结
相交线与平行线 第一节相交线 一：相交线 垂线段最短 点到直线的距离 第二节平行线及其判定一：平行线
二：平行线的判定 同位角、内错角同旁内角 平行线的判定 平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等 平行线的判定及性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角 平行线之间的距离 （1）平行线之间的距离 从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． （2）平行线间的距离处处相等 第四节平移 生活中的平移现象 1、平移的概念 在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离 相等． 3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离 ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等 作图----平移变换
中考复习第17课时线段、角、相交线与平行线(学生版)
九年级数学讲学稿系列(北师大版) 听来的容易忘记，看到的会记得住，做过的才能掌握！1 中考复习第17课时线段、角、相交线与平行线（学生版）考点一、直线和线段 1.如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．经过两点，有且仅有一条直线 D．两点之间，线段最短 2.中考帮P51典例1、变式1． 考点二、角的相关概念及性质 1．下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（） A.B．C．D． 2．如图，点D、E分别为三角形ABC边BC、AC上一点，作射线DE，则下列说法错误的是（）A．∠1与∠3是对顶角B．∠2与∠A是同位角 C．∠2与∠C是同旁内角D．∠1与∠4是内错角 3.中考帮P51典例2、变式2、典例3 考点三、相交线 1.把一副三角尺的直角顶点O重叠在一起，当OB平分∠AOC时，∠AOD 的度数为． 2.下列说法：①两点之间的距离是两点间的线段的长度；②过一点有且 只有一条直线与已知直线平行；③两点之间的所有连线中，线段最短；④若a⊥b，c⊥b，则a与c的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线；其中正确的是． 3.中考帮P51典例4、典例5、变式3、典例6 考点四、平行线 1.如图，∠1＝∠B，∠2＝20°，则∠D＝． 2．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B+∠BAD＝180°；④AD∥BE且∠D＝∠B．其中，能推出AB∥DC的条件为．（填写序号）
无限相信自己的潜能----学好数学从动手、动脑开始！！！ 3．如图，如果∠1＝∠3，能判定∥．根据是．如果AD∥CB．则+∠ABC ＝180°，根据是． （2）（3） 4．如图，直线a∥b，A，C是直线a上的两点，B，D是直线b上的两点，AB⊥b，若要使AB＝CD，可添加一个条件． 5．如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝5cm，∠ABC＝30°，过点A的直线α∥BC，D是直线a上一个动点，则△DBC的面积＝． （4）（5） 6．如图，已知∠1＝∠2＝50°，EF∥DB． （1）DG与AB平行吗？请说明理由． （2）若EC平分∠FED，求∠C的度数． 7.中考帮P52典例7，变式8 作业 C、D层做：作业帮P27第1-7题 A、B层做：作业帮P27第1-11题 拥有一个理想，成就更好的自己！2
人教版七年级数学下册相交线与平行线知识点
一相交线与平行线 相交线 关键词：邻补角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角 性质：对顶角相等。 垂线 关键词：垂直、垂足、 定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。 性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短.该垂线段的长度称为点到直线的距离。 平行线 定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“//”表示。如图一，直线AB与CD是平行线，记作“AB//CD” ，读作“AB平行于CD”．在同一个平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行． 图一 判定：1）同位角相等，两直线平行。 2）内错角相等，两直线平行。 3) 同旁内角互补，两直线平行。 4) 平行于同一直线的两直线平行。 5）垂直于同一直线的两直线平行。 性质：1) 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 2) 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 3) 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题． 一般形态：1)“如果……，那么……．” 2)“若……，则……．” 3)“倘若……，那么……．” 分类：1）正确的命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题． 2）如果题设成立，不能保证结论总是成立的命题． 5. 数学名词 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理，如“内错角相等，两直线平行” 、“两直线平行，内错角相等”等等．
公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理，如“同位角相等，两直线平行” 、“两直线平行，同位角相等”等． 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明． 二平面直角坐标系 1. 有序数对 定义：有顺序的两个数a与b组成的数对（a，b）叫做有序数对。 应用：找出平面上点的坐标。 2. 平面直角坐标系 平面直角坐标系：由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成。水平的数轴称为X轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴。 用坐标表示地理位置： 用坐标表示平移：1)一般地，在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右（或左）平移 a 个单位长度，可以得到对应点（x+a,y）（或（x-a,y))；将点（x,y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点表示（x,y+b） (或（x,y-b）)。 2）一般地，将一个图形一次沿两个坐标轴方向平移所得到的的图形， 可以通过将原来的图形作一次平移得到。