复数的乘除法

自我反思：
x3=1在复数集范围内的解是不是只有x=1，
如果不是，你能求出其他的解吗？
作业
课本 P112 A组 4、5
1 3 i, 例 4:设 2 2
求证: (1)1 0, (2) 1
2 3
(3)(a+bi)(a-bi) =a2-(bi)2=a2+b2
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数
时，这两个数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个
共轭复数也叫做共轭虚数。
探究2：
1.zz与|z|、|z|有什么关系？
2.若z为实数，则z与其共轭复数z什么关系？
3.在复平面内，互为共轭复数的两个复数对应的点
i i , i -1 , i -i , i 1
1 2 3 4
i , i 6 __ , i 7 __ , i 8 __ -1 -i 1 i __
5
你能发现规律吗？有怎样的规律？
i
4n
1 ,
i
i
4n 1
i ,
i
i
4n 2
1 ,
4n 3
例2、求值： i i 2
。
1.知识
（1）复数的乘法； （2）复数的除法； （3）共轭复数。 通过本节课的学习，你有哪些收获？
归 纳 小 结
2.思想方法
转化与化归 (复数问题实数化）
3.能力
归纳 类比 创新
自 主 学 习
1 3 设 i, 求证： 2 2 （） 2 0；（2 3 1. 11 ）
复数代数形式的加减运算法则: 设复数 z1=a+bi,z2=c+di,那么： z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
类比多项式 加减运算
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
一、复数代数形式的的乘法
1.复数乘法的运算法则： (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(bc+ad)i. A.复数的乘法类比多项式的乘法； B.所得的结果中把i2换成-1； C.把实部与虚部分别合并（两个复数的乘积仍为复数）.
2.复数乘法的运算律
复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.
即对任何z1,z2,z3有 z1﹒z2=z2﹒z1; (z1﹒z2)﹒z3=z1﹒(z2﹒z3);
z1﹒(z2+z3)=z1﹒z2+z1﹒z3.
例1、计算：(1 2i)(3 4i)(2 i) 解：(1 2i )(3 4i )( 2 i )
(1 2i) (3 4i) (2 i) ?
数系扩充原则：
数系扩充后，在复数系中规定的加法运算、乘法运算，与原
来的实数系中规定的加法运算、乘法运算协调一致：加法和乘法 都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。


即 对任何z1,z2,z3有：
z1﹒z2=z2﹒z1; (z1﹒z2)﹒z3=z1﹒(z2﹒z3); z1﹒(z2+z3)=z1﹒z2+z1﹒z3.
虚数的引入，解决了负数不能开平方的矛盾。
实数系
回 顾 历 史 数 系 扩 充
扩充
复数系
数系扩充后，在复数系中规定的加法运算、
乘法运算，与原来的实数系中规定的加法运算、
乘法运算协调一致：加法和乘法都满足交换律和
结合律，乘法对加法满足分配律。
复习引入
数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入
数系的扩充和复数的概念 3.1数系的扩充 和复数的概念 复数的几何意义
复数运算转化为 实数的运算
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,
虚部与虚部分别相加(减).
2.复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
问题一

你能根据数系扩充过程的基本原则及复数代数形 式的加减运算法则，解决下面这个问题吗？
有怎样的位置关系？
例4、复数 z 满足(3-4i)×z = 1+2i，求z 。
二、复数代数形式的除法
a bi ac bd bc ad a bi c di 2 2 ic di 0 2 2 c di c d c d 5 练习：3 4i 的共轭复数为
复习引入
数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入
数系的扩充和复数的概念 3.1数系的扩充 和复数的概念 复数的几何意义
3.2复数代数形 式的四则运算
①
分数
有理数 整数 无理数
③ 实数
回 顾 历 史 数 系 扩 充
分数
自 然 数
②
负数
实数 ①分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。 复数 ②负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。 虚数 ③无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。
(11 2i )( 2 i ) 20 15i
问题二
实数集R中的完全平方公式、平方差公式、立方和
（差）公式在复数集C中还成立吗？
问题三
实数集R中的整数指数幂的运算律在复数集C中还成立吗？
zm﹒zn=zm+n; （z1﹒z2)m =z1m﹒z2m; (zm)n=zm n
探究1： i 的指数变化规律
i Biblioteka Baidu i
3
10
9
解：原式 i i2 i3 i4） i5 i6 i7 i8） i （ （
i
10
0i i i 1
1 2
例3、计算(1)(3+4i)(3-4i) =32-(4i)2=9+16=25
(2)(12+5i)(12-5i) =122-(5i)2=144+25=169
3.2复数代数形 式的四则运算
复数代数形式的加、减 运算及其几何意义 复数代数形式的乘除运算
回顾计算
(5 6i) (2 i) (3 4i) (5 2 3) (6 1 4)i 11i
复数加减法的运算法则：
1.运算法则:设复数 z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;