马尔萨斯数据拟合实验

马尔萨斯数据拟合实验

实验内容

实验一：数据拟合Malthus 人口指数增长模型中的参数 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如表5.3：

表5.3

年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 人口（⨯

610）

3.9

5.3

7.2

9.6

12.9

17.1

23.2

年份

1860

1870 1880 1890 1900 1910 1920 人口（⨯ 610）

31.4

38.6

50.2

62.9

76.0

92.0

106.5

年份

1930

1940 1950 1960 1970 1980 人口（⨯ 610）

123.2

131.7

150.7

179.3

204.0

226.5

用以上数据检验马尔萨斯（Malthus)人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进。

试验二：经济增长模型

增加生产、发展经济所依靠的主要因素有增加投资、增加劳动力以及技术革新等，在研究国名经济产值与这些因素的数量关系时，由于技术水平不像资金、劳动力那样容易定量化，作为初步的模型，可认为技术水平不变，只讨论不像资金、劳动力之间的关系。在科学技术发展不快时，如资本主义经济发展的前期，这种模型是有意义的。

用Q,K,L 分别表示产值、资金、劳动力，要寻求的数量关系Q （K ，L ）。经过简化假设与分析，在经济学中，推导出一个著名的Cobb-Douglas 生产函数

()

,,0,1Q K L a K L αβαβ

=<< （*） 式中,,a αβ要由紧急统计数据确定。现有美国马萨诸赛州1900-1926年上述三个经济指数的统计数据。如表5.5，试用数据拟合的方法，求出（*）式中的参数,,a αβ。

表5.5

t Q K L

t Q K L

1900 1.05 1.04 1.05 1901 1.18 1.06 1.08 1902 1.29 1.16 1.18 1903 1.30 1.22 1.22 1904 1.30 1.27 1.17 1905 1.42 1.37 1.30 1906 1.50 1.44 1.39 1907 1.52 1.53 1.47 1908 1.46 1.57 1.31 1909 1.60 2.05 1.43 1910 1.69 2.51 1.58 1911 1.81 2.63 1.59 1912 1.93 2.74 1.66 1913 1.95 2.82 1.68

1914 2.01 3.24 1.65 1915 2.00 3.24 1.62 1916 2.09 2.61 1.86 1917 1.96 4.10 1.93 1918 2.20 4.36 1.96 1919 2.12 4.77 1.95 1920 2.16 4.75 1.90 1921 2.08 4.54 1.58 1922 2.24 4.54 1.67 1923 2.56 4.58 1.82 1924 2.34 4.58 1.60 1925 2.45 4.58 1.61 1926 2.58 4.54 1.64

三、实验环境 Windows 操作系统; MATLAB 7.0. 四、实验过程 一、问题：实验一

二、问题分析

因为假设人口增长率为常数，且已知初始时刻的人口数，可根据t 时刻人口变化用差商代替微商。当0t ∆→时，可列出关于t 时刻人口变化的微分方程。

()00d x

r x d t

x x ⎧=⎪

⎨⎪=⎩

。根据该微分方程求出解，再用数据拟合模型球参数。 三、假设

1）假设人口增长率为常数，记为r.

2）记时刻t 的人口为x(t)（即x(t)为模型的状态变量）。 3）假设初始时刻人口为x0。 四、模型建立

1）求解该微分方程得到x(t)的表达式为()*0*

r t

xt x e =则可转化为求关于x(t)在t 时刻的测量数据来辨识参数对应的数学模型球函数的最小二乘解。其中a=0,b=x0,则需求r 的最小值点。 2）运用最小二函数拟合求出所需的r 值。

五、模型求解

1）编写M 文件curvefun.m

function f=curvefun(x,tdata) f=1e+05*39*exp(x*tdata);

2）编写（test1.m ） tdata=linspace(0,200,20);

cdata=1e+05.*[39 53 72 96 129 171 232 314 386 502 629 760 920 1065 1232 1317 1507 1793 2040 2265]; x0=[0.2];

y=lsqcurvefit('curvefun',x0,tdata,cdata) 3）即求出结果为： y = 0.0211 即r= 0.0211

根据下述程序作出模型图像： tdata=linspace(0,200,20);

cdata=1e+05.*[39 53 72 96 129 171 232 314 386 502 629 760 920 1065 1232 1317 1507 1793 2040 2265]; plot(tdata,cdata) hold on

f=1e+05*39*exp(0.0211*tdata); plot(tdata,f,’r’),title(‘马尔萨斯模型’) 模型图像：

020406080100120140160180200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x 10

8

马尔萨斯模型

六、模型评价

可以看出使用一般曲线拟合，出来走势基本一致，但是还有一定误差，并且由图可以看出该曲线接近一条