第1课时弧长和扇形面积(导学案)
180
24.4弧长和扇形面积
第1课时弧长和扇形面积
、新课导入 1?导入课题:
情景：制造弯形管道时，经常要先按中心线计算 展直长度”图中虚线的长度），再下料, 这就是这节课我们所要研究的问题 （板书课题）.
2?学习目标：
（1） 能推导弧长和扇形面积的计算公式 ?
（2） 知道公式中字母的含义，并能运用这些公式进行相关计算 3?学习重、难点：
重点：弧长公式及扇形面积公式与应用 ?
难点：阴影部分面积的计算? 二、分层学习
第一层次学习
1?自学指导：
（1） 自学内容：教材第111页的内容? （2） 自学时间：6分钟?
（3） 自学要求：注意公式的推导和记忆 （4） 自学参考提纲：
① 圆的周长公式是什么？ C = 2 n R.
② 弧有长度吗？弧的长度和它所在的圆周长有何关系? 圆可以看作是360度的圆心角所对的弧?
1 °勺圆心角所对的弧长是圆周长的几分之几? n °的圆心角所对的弧长是圆周长的几分之几?
所以在半径为R 的圆中，n 。的圆心角所对的弧长I 的公式是|=匸只?
这就涉及到计算弧长的问题 .
问题：怎样求一段弧的长度呢?
③由弧长公式可知，一条弧的弧长I、圆心角度数n和圆半径R，在这三个量中，已知
180
360
其中的两个，就可求出第三个
女口已知I 和n ,则R = 1801;已知I 和R ,则n =型！.
n 兀 TL R
④ 计算图中弯道的展直长度”.
解：由弧长公式，得 AB 的长I 二1°° 9°°
- 1570(mm).
180
因此所要求的展直长度
L=2X 700+1 x 1570=2970(mm).
2?自学：学生结合自学指导进行自学 . 3?助学： (1) 师助生：
① 明了学情：关注学生对弧长公式的推导和变形过程 ② 差异指导：根据学情进行指导 ? (2) 生助生：小组内相互交流、研讨 4?强化：
(1) 弧长公式、公式的书写格式及其变形 (2)
有一段弯道是圆弧形的，道长是 12米，弧所对的
圆心角是 81°求这段圆弧的半 径R (精确到0.1米)?
解：由 I
得 R^
180
! 180 12 8.5 (米).
R180
n 兀
8仆3.14
第二层次学习
1?自学指导：
(1) 自学内容：教材第112页到第113页练习”之前的内容? (2) 自学时间：8分钟.
(3) 自学方法：完成自学参考提纲 (4) 自学参考提纲：
① 圆的面积公式是什么？ S =nR
② 什么叫扇形？扇形的面积和它所在的圆的面积有何关系？ 圆的面积可以看作是圆心角为 360度的扇形面积. 圆心角为1 °勺扇形的面积是圆的面积的几分之几？
丄
360
n
圆心角为n°的扇形的面积是圆的面积的几分之几?
2
④如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6m ，其中水面高0.3m.求截面上有
水部分的面积(精确到 0.01m 2).
a. 怎样求圆心角/ AOD 的度数？
在 Rt △ ADO 中，0D=0C-DC=0.3m,0A=0.6m. /-Z A=30° .A / AOD=60° .
???Z AOB=2 / AOD=120 .
b. 阴影部分的面积=扇形AOB 的面积-△ AOB 的面积. c 写出本题的解答过程.
解：如图，连接 OA 、OB,作弦AB 的垂直平分线，垂足为
D,交AB 于点C ,连接AC.
?/ OC = 0.6m,DC = 0.3m,/ OD = OC-DC = 0.3 (m ) .? OD = DC.又 AD 丄 DC, / AD 是线 段 OC 的垂直平分线.??? AC = AO = OC.从而Z AOD = 60°,Z AOB = 120°.
???有水部分的面积 s = S 扇形OAB _S °AB = 120‘ 0.62 -1 AB?OD = 0.12i -1 0.6 3 0.3 0.22( m 2). 360
2 2
2. 自学：学生结合自学指导进行自学 .
3. 助学： (1) 师助生：
① 明了学情：了解学生在推导扇形面积公式及求例 2中Z AOD 时遇到的困难情况.
② 差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导 (2) 生助生：小组内相互交流、研讨 4. 强化： (1)
扇形面积公式及推导过程和公式的变形 .
(2) 求不规则图形的面积的方法：转化为规则图形的面积和或差 (3) 练习：已知正三角形 ABC 的边长为a,分别以A 、B 、C 为圆 ' 心，以12a 为半径的圆相切于点 D 、 E 、F ,求图中阴影部分的面积
S.
:、 ”
解：连接 AD,则 AD 丄 BC, A ^_3a .
：
：'
：
所以在半径为R 的圆中，圆心角为 n 的扇形的面积 S 扇形的公式是
n R 2 360
③试推导扇形的面积公式
1 s 扇形=2IR (这里的 I 指扇形的弧长, R 指半径)
s
扇形 _ n R 2 _ 一 360 一 2^180 一
n 「R 1 R IR . 2
9
门
, 60兀—a I
,
1
\2 v3 2
1 2
S ABC -3； S 扇形AFE
BC?AD - 3
a a . 扇形 2
360
4
8
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？还 有什么疑惑?
2?教师对学生的评价:
（1）表现性评价：点评学生学习的主动参与性、小组交流协作能力和状况、存在的问题
（2）纸笔评价：课堂评价检测 3.
教师的自我评价（教学反
思）：本节课从复习圆周长公式入手， 根据圆心角与所对弧长 之间的关系，推导出了弧长公式 .后又用类比的方法，推出扇形面积，两个公式的推导中,
都渗透着由 特殊到一般”，再由一般到特殊”的辩证思想，然后由学生比较两个公式时，又 很容易得出两者之间的关系，明确了知识间的联系
（时间：12分钟满分：100分）
、基础巩固（70分）
1. （10分）已知扇形的圆心角为 120 °半径为6，则扇形的弧
长是 4n 2.
（10分）75的圆心角所对的弧长是 2.5 n cm 则此弧所在的圆半径是
6cm.
3.（10分）一个扇形的弧长为 20 n cm
面积是240 n 则扇形的圆心角是 150°
1000mm,求图中管道的展直长度?
(n 取 3.142)
解：3000 2 聖
1000
180
6142 (mm ).
答：图中管道的展直长度约为
6142mm.
5.（20分）草坪上的自动喷水装置能旋转 草坪的面积.
解: — 220 二 202 2200
360 9
■: m 2
答：它能喷灌的草坪的面积为
2200 ;^2.
220 °如果它的喷射半径是
4.（20分）如图是一段弯形管道,
其中，/0= / O' =9Q°中心线的两条圆弧半径都为、综合应用（20分）
9
6.（20分）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为120 °AB的长为30cm, 贴纸部分BD的长为20cm，求贴纸部分的面积
2
120n30 2
解：s扇形ABC 300二（cm ）,
360
o120 汉兀（30—20）2100 2
S
扇形ADE（cm ）,
360 3
100
…
S
贴纸=
S
扇形ABC ~
'S扇形ADE = 300—二
答：贴纸部分的面积是80^- cm2.
3 /
三、拓展延伸（共10分）
7.（10分）正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积
方法
答：图中阴影部分的面积为
360
800 二（cm2,
3