数学分析期末试卷A答案_2

通化师范学院考试试题参考答案及评分标准

试卷代号（数学—001—A ） 考试科目：数学分析I

考试专业：数学与应用数学、信息与计算科学 考试年级：大一 考试学期：秋季学期

本参考答案共（3）页

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一、填空题（每小题2分，共10分）

1.0,1； 2．1； 3．dx x x x x )2cos 22sin 2(2+； 4．t a b cot -； 5．]23,(-∞或)2

3,(-∞. 二、单项选择题（每小题2分，共10分）

1.C;

2.A;

3.D;

4.B;

5.D

三、判断题 （每小题2分，共10分，在对的后面划∨，在错的后面划×）

1. ∨；

2. ∨；

3. ×；

4. ×；

5. ∨

四、计算题（每小题5分，共20分）

1.求极限)122(lim n n n n ++-+∞→.

解:)112(lim )122(lim n n n n n n n n n ++-+-+=++-+∞→∞

→ .011lim 121lim =++-+++=∞→∞→n n n n n n （5分）

2.求极限2132lim 31x x x x -→+∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭

. 解:2132lim 31x x x x -→+∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭2311332332lim 13131x x x e x x --→+∞⎧⎫+⎪⎪⎡⎤⎛⎫=+⋅=⎨⎬ ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭⎪⎪⎩⎭. （5分）

3.设,)2(sin x x y =其中0>x ,求y '.

解:()())sin 2ln (cos )2(2ln sin sin 2ln sin 2ln sin x

x x x x x x e e y x x x x x +⋅='⋅='='. （5分） 4.设x x x f sin )(3=,求)()2009(x f .

解:令3)(,sin )(x x v x x u ==.由于

)2

sin()()(π

n x x u n +=,)4(0)(,6)(,6)(,3)()('''''2'≥====n x v x v x x v x x v n . （1分） 应用莱布尼茨公式)2009

(=n 得 ++++=)2

2008sin(3)22009sin()(1200923)2009(ππx C x x x x f )2

2006sin(6)22007sin(63200922009ππ+++x C x xC x x x x x x x sin 200720082009cos 200820093sin 20093cos 23⨯⨯-⨯⨯-⨯+=（4分）

五、证明题（每小题10分,共50分）

1.用“N -ε”定义证明11

lim =+∞→n n n . 证明:对任给0>ε,要使 ε<+=-+1

111n n n ， 只须11

->εn .令11+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ,（5分）则当N n >时有ε<-+11n n .因此11lim =+∞→n n n .（5分）

2.用“δε-”定义证明42

4lim 22=--→x x x . 证明:由于当2≠x 时,

24242

42-=-+=---x x x x ,（2分） 故对任意给定的0>ε,只要取εδ=,（4分）则当δ<-<20x 时有ε<---42

42x x .这就证明了.42

4lim 22=--→x x x (4分) 3.根据柯西准则叙述lim ()x f x →+∞不存在的充要条件,并应用它证明lim cos x x →+∞

不存在. 证明:(1)设函数()f x 在()U +∞内有定义,则lim ()x f x →+∞

不存在的充要条件是:存在某个 00ε>,对于任何正数0M >,总存在,()x x U '''∈+∞,有,x x M '''>,但是

0)()(ε≥''-'x f x f .（4分）

(2) 取012ε=,对任意正数0M >,取1][+=M n 及2x n π'=,22

x n ππ''=+ ,则 ,x x M '''>,但

0|()()||cos cos ||cos 2cos(2)|12

f x f x x x n n π

ππε''''''-=-=-+=>. 所以,lim cos x x →+∞不存在.（6分） 4.证明:)0()(≠+=a b ax x f 在),(+∞-∞上一致连续.

证明:任给0>ε,由于,)()(''''''x x a x f x f -=-故可选取a εδ=

,（5分）则对任 何),(,'''+∞-∞∈x x ,只要δ<-'''x x ,就有ε<-)()('''x f x f .这就证得b ax x f +=)(在),(+∞-∞上一致连续.

（5分）

5.设)(x f 为],[b a 上二阶可导函数,0)()(==b f a f ,并存在一点),(b a c ∈使得0)(>c f .证明至少存在一点),(b a ∈ξ,使得0)(<''ξf .

证明:因为)(x f 在],[b a 上二阶可导⇒)(x f 在],[],,[b c c a 上均二阶可导,由拉格朗日中值定理推得

存在,,11c a <<ξξ使,0)()()(1>--=

'a

c a f c f f ξ 存在,,22b c <<ξξ使.0)()()(2<--='c b c f b f f ξ（6分） 而)(x f '在),(],[21b a ⊂ξξ可导,同样推得

.0)()()(1

212<-'-'=

''ξξξξξf f f （4分）