由最小作用量到量子化条件

最小作用量原理到量子化条件

一.问题背景

为了说明从最小作用量原理到量子化的过程是有多么惊心动魄，我们先要明白量子化的原理，并且在一开始我也要声明这不是唯一的一种方法，并且也是当代的一位物理学家做的工作。我仅表示最崇高的敬意而写下这些可以让我好好赏析的艺术。

首先是介绍什么是作用量:WIKI 的解释

二．最小作用量原理 在物理学里，最小作用量原理（英语：least action principle ），或更精确地，平稳作用量原理（英语：stationary action principle ），是一种变分原理，当应用于一个机械系统的作用量时，可以得到此机械系统的运动方程。这原理的研究引导出经典力学的拉格朗日表述和哈密顿表述的发展。卡尔·雅可比特称最小作用量原理为分析力学之母[1]。

在现代物理学里，这原理非常重要，在相对论、量子力学、量子场论里，都有广泛的用途。在现代数学里，这原理是莫尔斯理论的研究焦点。本篇文章主要是在阐述最小作用量原理的历史发展。关于数学描述、推导和实用方法，请参阅条目作用量。最小作用量原理有很多种例子，主要的例子是莫佩尔蒂原理（Maupertuis' principle ）和哈密顿原理。

从英文中的造字角度看该问题可以略见端倪，”l east action principle“。看了部分关于最

小作用量原理的论文和赏析后。从历史的角度看，费马原理是最原始的表述，而到现在，近乎所有的物理理论都可以表述成最小作用量的形式，但是无法想象的是竟然没有覆盖全部的物理学。简直无法忍受！接着先介绍电磁学的作用量：S = （动能−势能）t2

t1dt

S = (12mv 2−V(x))t2t1dt

S = (−mc 2 1−v 2/c 2−q e [ϕ x,y,z,t −v ∙A

(x,y,z,t)])t2t1dt S = 12ϵE 2−12ϵc 2B 2−ρϕ+jA dt t2t1F =q e E +v ×B ∇×F ≠0

写下这些方程是为了很好地表现拉氏量在力学和电磁学中发挥的作用~

先从洛伦兹力下手，然后把势能函数表示出来，接着可以先给出非相对论情形下的拉格朗日函数:

F =dp =q e −∇ϕ−ðA +v × ∇×A −∇ϕ−

ðA ðt +v × ∇×A =−∇ϕ−ðA ðt

+∇ v ∙A − v ∙∇ A dA(x,y,z,t)dt =ðA ðt +ðA ðx ðx ðt +ðA ðy ðy ðt +ðA ðz ðz ðt =ðA ðt + v ∙∇ A d p +q e A =−∇q e ϕ−v ∙A

发现电磁理论的动量和势能函数的形式，F =−∇U → U =q e (ϕ−v ∙A )p em =p +q e A

我们可以从中阅读到的信息是qA 拥有真实的动量含义，下面我们将看到一些十分惊人的结果！

L =1mv 2−q e ϕ−v ∙A p =ðL ðv =mv +q e A H = p i q i −i

L =1 p −q e A 2+qϕ 接下来是给出相对论形式的拉氏变换，为了方便我将引入四维矢量的描述方式：

L x μ τ ,x μ τ ,τ →粒子的四维坐标可以视为粒子“原时“的函数

PS:原时的概念是这么引入的：我们都知道四维时空都有一个不变的间隔即

12Δx μΔx μ=Δτ2→12 c 2Δt 2−Δx 2−Δy 2−Δz 2 =Δτ2 Δτ=

Δt =Δt 我们把这个不随参考系变化的时空间隔称为”原时”----Δτ. 那么就有：δ L x μ τ ,x μ τ ,τ τ2τ1dτ=0

Δx μΔx μ=c 2

接着用拉格朗日乘子法，引入辅助函数得：

L’=L +

λ τ 2

(Δx μΔx μ−c 2) 对新函数取变分求极值：

δ L ′d τ=0→由欧拉方程可推导得：

∂L′μ−d ðL′ðx μ=0 证明对L 的任意变换，上式都是成立的。

这里再介绍自由粒子的作用量形式：

狭义相对论性的自由粒子的作用量表示：

L x μ(τ),x μ(τ),τ =−m 0

c 2 同样从力出发(一种本征的思考，力是与能量，动量，角动量直接相互联系的基本量):

r =r q 1,q 2,q 3,τ →ðr ðq i

=e i 基矢量 p =mu ,dp d τ=F →dp dτðr ðq i

=F ∙e i 且我们可知F ∙e i 是一标量Q i d d τ mu ∙ðr ðq i −mu d dτ ðr ðq i

−Q i =0 洛必达法则给出：

ðr ðq i =ðr ðq i =ðu ðq i And d dτ ðr ðq i = ðu ðq i

d mu ∙ðu i −mu ∙ðu i −Q i =0→d ð12mu 2i −ð12

mu 2i

−Q i =0 注意到：

d ð −m 0c 2 1−u 2/c 2 i =d 12m ðu 2ðq =d (1m ðu 2

i ) ð −m 0c 2 1−u 2/c 2 i =1m ðu 2

i

L x μ(τ),x μ(τ),τ =−m 0c 2 1−u 2/c 2−V , Q i =ðV i

我们现在得到了相对论条件下的自由例子的拉氏方程-Lagrange Equation

接下来是确定V 的表达式。

我们知道在电磁场情形下，粒子将会收到电磁场的局域作用，而势的作用在A-B 效应中体现出比场更加基本的性质。所以写下势能函数优先用基本势来完成！

V =q ϕ−v ∙A

由此可得：

L x μ(τ),x μ(τ),τ =−m 0

c 2 1−u 2/c 2−q ϕ−v ∙A 接着可以写成简洁的四矢量的形式：

A μ=(iϕ,A )U μ= 1−v 2/c 21−v 2/c 2P μ=(iW /c ,p )

此时同样可以给出相对论形式下的作用量,哈密顿量和共轭动量的表达式：

S = γ−1 −m 0c 2−qA μU μ dττ2

τ1P =ðL ∂u =mu +qA H = P −qA 2+m 02c 4+qϕ 三．电磁场的协变性

电磁场方程的表达式可以写为：

E =−∇ϕ−ðA

B =∇×A

为了保证电磁场在势函数规范变化后不发生变化（基于势函数的随机性，但势函数也有限制） 因此作电磁势的规范变换：

A‘=A +∇Ψϕ′=ϕ−∂Ψ∂t L’=L −q ∇μΨu μ

，∇μ= ∂ ,−∇ −四维梯度 于是有：