有限维赋范空间与无限维赋范空间之比较

a • 1 ≤ • 2 ≤ b • 1, ，则称范数 ⋅ 1 和 ⋅ 2 是等价的。
命题 1 在两个等价范数产生的赋范空间中，点列 {xn }的收敛性一样。 证明 事实上， xn − x0
1
பைடு நூலகம்
→ 0 ⇒ xn − x1
2
→0
(n → ∞)，反之，
xn − x0 2 → 0 ⇒ xn − x0 1 → 0
1 1
n − ⎛ n 2 ⎞2 ⎛ 2 ⎞2 其中 β = x = ∑ ξ k ek ≤ ∑ ξ k ek ≤ ⎜ ∑ ξ k ⎟ ⎜ ∑ ek ⎟ = β x ， k =1 k =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠
n
n
(∑
n
n k =1
ek
2
1 2 2
) 是与 x
无关的常数。另一方面，在 Rn 中的单位球面 S 上， S = ⎨ x = (ξ1 ,⋯ , ξ n )
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满足： xi − x j ≻ 推论 列紧的。 注1
1 (i ≠ j ) ， {xn } 中不存在收敛的子列，与 S 列紧矛盾。 2
设 X 是一个无穷维的赋范空间， 那么单位球 B(0,1) 和单位球面 S (0,1) 都不是
在无穷维空间，单位球（面）不是列紧的（存在 {xn }, xi − x j ≻
1 。 2
因为 L2 = span x1, x2 是 X 的真闭线性子空间，于是又可用 Reisz 引理，继续以上过程 得到 S 中序列 (xn ) 使 d xn, span x1, ⋯ , xn −1 ≻ 没有基本子列。 这还得到一个结论：无限维赋范空间的非空开集不是列紧集。 定理 2 证明 赋范空间是有限维的当且仅当 X 中的任何有界集是列紧的 必要性显然。 充分性。假如不然，X 是无穷维的。考虑 S = x x = 1 ，任取 x1 ∈ S ，记 X 1 为 由 x1 生成的子空间。由于 X 是无穷维的，由 x1 生成的子空间是 X 的真闭子空间。由 Riesz 引理， 存在 x2 ∈ S , x2 = 1 使得 x2 − x ≻
{
}
{
}
(x, ⋅ )
是 n 维赋范空间，于是存在一组基 e1, ⋯ , en ， ∀x ∈ X ，可以唯一表示
− −
{
}
为 x = ξ1e1 + ξ 2 e2 + ⋯ + ξ n en 。令 x = (ξ1 ,⋯ , ξ n )∈ Rn ，设 T : x ∈ X → x ∈ Rn 。T 是一个从 X 到 Rn 的同构映射。 对于 ∀x ∈ X , ⋅ 与 Rn 的范数等价，事实上由三角不等式和 Holder 不等式，我们有
{ }
(
{
})
1 1 .当 m ≠ n 时， xm − xn ≻ . 这样 ( xn ) 2 2
{
}
X2
1 1 特别地 x2 − x1 ≻ 。 令 , ∀x ∈ X 1 ， 2 2 1 是由 {x1 , x2 } 生成的子空间，同样存在 x3 ∈ S , ∀x ∈ X 2 , x3 − x ≻ 。 2 1 1 特别地 x3 − x2 ≻ , x3 − x1 ≻ ， 这样一直做下去， 得到 S 中的无穷点列 {xn } 2 2
1
x
∞
⎛ n = max ξ k ≤ ⎜ ∑ ξ k ⎜ k =1 1≤ k ≤ n ⎝
∞
2
⎞2 ⎟ = x ≤ n max ξ k = n x ⎟ 1≤ k ≤ n ⎠
∞
因而 x , x 1 , x
三个范数等价。 由它们诱导出的距离也是等价的。 我们将看到， R n 上
定义的所有范数都是等价的。 2、完备性 有限维赋范空间都是 Banach 空间。事实上，对于两个等价范数 • 1 与 • 2 而言，考察
{
( ) ( ) }
(X
,
• 1 ) 的完备性与考察 (X , ⋅ 2 )的完备性是一致的。据 Euclid 空间的完备性知有限维赋范
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空间都是 Banach 空间。 无限维赋范空间可能是不完备的。 事实上， 线性空间 l 0 − 只有有限项不为零的数列全体 按任何范数不完备。为此，命 X n = span e1, ⋯, en .在任何范数下， X n 是 l 0 的完备线性子 空间且无内点，因此 X n 是 l 0 的疏朗集。而 l 0 = ∪ X n n = 1,2,⋯ ,故 l 0 总是第一纲的。 定理 1 证明 任意 n 维赋范空间必与 R n 代数同构拓扑同胚
1 ） 。如果单位 2
球（面）列紧，则 X 是有限维的。
注2
列紧性是距离空间十分重要的性质，在有限维空间，任何有界闭集都是自列
紧的，但是在无穷维赋范空间，有界集就可能不是紧集合，这是有限维空间和无限维空 间的重要区别。 5、 最佳逼近的存在性 赋范空间 X 中有限维子空间 L 对任何 x ∈ X 的最佳逼近存在（而无限维子空间则 不尽然） 。为此作 L 的非空有界闭集 S = y ∈ L d x, y ≤ d x, L + 1 于是紧集 S 对 x 有 最佳逼近，这也是 L 对 x 的最佳逼近。
胚。 注1
即：X 与 R n 同
定理说明实的有限维空间中定义的范数与 R n 的范数等价， 收敛性与 R n 相
同，即按坐标收敛。 注2 对于复的有限维空间可以证明类似的结果。有限维的赋范空间都是 Banach 空间。 3、 闭性 赋范空间的有限维线性子空间都是闭的，而无限维线性子空间则不一定是闭的，如
f (ξ1 ,⋯ , ξ n ) − f (η1 ,⋯ ,η n ) = x − y ≤ x − y ≤ β x − y ， y = (η1 ,⋯ ,η n ) ，结合上述有
所以 f ⎜ x ⎟ 是连续的。
−
−
⎛−⎞ ⎝ ⎠
因为 S 是 Rn 中的闭的有界集，是自列紧的集合。 f ⎜ x ⎟ 在 S 上取到最小值，即存
⎧− ⎩
ξk ∑ k
=1
⎫ = 1⎬ 。 ⎭
定义 f ⎜ x ⎟ = f (ξ1 ,⋯ , ξ n ) = x = ξ1e1 + ⋯ + ξ n en ，由于在 S 上， ξ1 ,⋯ , ξ n 不同时为零， 且
⎛ −⎞ ⎝ ⎠
⎛ −⎞ e1 ,⋯ , en 线 性 无 关 ， 于 是 ξ1e1 + ⋯ + ξ n en 不 等 于 零 ， 所 以 f ⎜ x ⎟ = x ≻ 0 对 于 任 意 的 ⎝ ⎠
l 0 在 l ' 中稠密，因此 l 0 不是 l ' 的闭集。
4、 有界集的列紧性 有限维赋范空间的有界集都是列紧集而其有界闭集是紧集 (Heine-Borel 定理 )。无限 维赋范空间的单位球面 S 不是预紧集，因而不是列紧集也非紧集。为此取 x1 ∈ S 。因为
L1 = span{x1 }是 X 的真闭线性子空间，由 F.Riesz 引理，可取 x2 ∈ S 使 d (x2 , L1 ) ≻
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有限维赋范空间与无限维赋范空间之比较
学院： 数学学院
专业： 基础数学
姓名： 刘冬芳
学号： 20101107012
1、 范数等价性 有限维线性空间上任何两个范数都等价，因而它上面只有一个范数拓扑。无限维线性空 间上有无限个范数相互不等价，因而它上面有无限多个相互不同的范数拓扑。 定义 1 设 • 1 和 • 2 是 线 性 空间 X 上 的 两 个范 数 ， 如 果存 在 a ≻ 0, b ≻ 0, 使 得
注
(n → ∞ )
由上，命题得证。 在两个等价范数产生的赋范空间中，同一个元素的范数可能不同，但是空间中的
收敛性一样。 例1
Rn 按通常意义下的加法、数乘，成为一个线性空间。在这一空间中定义了三个
∞
不同的范数 x , x 1 , x
，它们满足
1 1
n ⎛ n ⎛ n 2 ⎞2 2 ⎞2 x = ⎜ ∑ ξk ⎟ ≤ ∑ ξk = x 1 ≤ n ⎜ ∑ ξk ⎟ = n x ; k =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠
− − ⎛−⎞ n x 在 α ≻ 0, ∀ x ∈ S 有 f ⎜ x ⎟ = x ≥ α 。 对于任意的 x ∈ X ，对应的 x ∈ R , − ∈ S ，于是 ⎝ ⎠ x
⎛−⎞ ⎝ ⎠
−
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⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ − − − x x f ⎜ − ⎟ = − ≥ α ，由此推出 x ≥ α x ，我们有 α x ≤ x ≤ β x 。 ⎜ ⎟ x ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠