几何元素间的相对位置及综合问题解题方法

① 求交点 ② 判别可见性
由水平投影可 知,KN段在平面前，故 正面投影上kn为可见。
⑵ 直线为特殊位置
m
b
空间及投影分析: 直线MN为铅垂线,其
k●
水平投影积聚成一个点，
a
c
●
1(2)
故交点K的水平投影也积聚
n
在该点上。
X
b
mk(n●2) ●Fra bibliotekca
1
① 求交点 ② 判别可见性
点Ⅰ位于平面上,在
前，点Ⅱ位于MN上，在
要讨论的问题:
(1) 求直线与平面的交点。
●
●
(2) 判别两者之间的相互遮
挡关系,即判别可见性。
我们将分别讨论一般位置的直线与平 面或至少有一个处于特殊位置的情况。
2. 两平面相交
两平面相交其交线 为直线,交线是两平面 的共有线，同时交线上 的点都是两平面的共有 点。
要讨论的问题: ① 求两平面的交线
2. 判断直线的可见性
b n
a
k
m c
n a
k b
m
c
特殊位置线面相交,根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。
例1 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
⑴ 平面为特殊位置
b
n
k
a
1(2) ●
●
m
c
X
m a
●2
●
●
1
b
k
c n
还可通过重影 点判别可见性。
空间及投影分析:
平面ABC是一铅垂 面,其水平投影积聚成 一条直线，该直线与 mn的交点即为K点的水 平投影。
几何条件: 若一个平面内的相交二直线与另一个
平面内的相交二直线对应平行,则此两平 面平行。这是两平面平行的作图依据。
两平面平行的作图问题有:
判别两已知平面是否相互平行; 过一点作一平面与已知平面平行； 已知两平面平行，完成其中一平面的 所缺投影。
两平面平行
Ⅰ
Ⅲ Ⅱ
AB∥ⅠⅡ;AC∥ⅠⅢ； 则:P∥Q
➢第4章 几何元素间的相对位置 及综合问题解题方法
➢4. 1 平行问题 ➢4. 2 相交问题 ➢4. 3 垂直问题 ➢4. 4 综合问题分析及解法
➢基本要求
（一）平行问题
1．熟悉线、面平行,面、面平行的几何条件; 2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
（二）相交问题
1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚 性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。
f
b
a
a
b f
直线与特殊位置平面平行
CE
A H
D
B
F
a(b) c
G e(f)
d
h(g)
a'
b' X
a(b)
c' e'
h'
d'
f'
g'
O c e(f)
d h(g)
当平面为投影面的垂直面时,只要平面有积聚性的投影和直线 的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面必 定平行。
⒉ 两平面平行
2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、 面相交求交线的作图方法。
3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
（三）垂直问题
掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
（四）点、线、面综合题
1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题 步骤和方法。
方法: ⑴ 确定两平面的两个共有点。 ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。
② 判别两平面之间的相互遮挡关系,即: 判别可见性。
4.2.1 特殊位置线面相交
直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性 特殊位置直线与一般位置平面相交
1. 直线与特殊位置平面相交
b n
a
k
m
c
n a
k b
m
c
由于特殊位置平面的某个投影有积聚性,交点可直接求出。
后，故k1为不可见。
例2 求铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点并判别
其可见性。
k' 1' (2')
2 k1
4.2.2 一般位置平面与特殊位置 平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个 共有点的问题,由于特殊位置平面的某个投 影有积聚性，交线可直接求出。
1.求交线
2.判断平面的可见性
1. 求交线
[例1] 试判断直线AB是否平行于定平面
g f
f g
结论:直线AB不平行于定平面
[例2] 过M点作直线MN平行于平面ABC。
b
d
n
c m
a
●
X
b
d
n
a
●
m
c
有无数解
[例3] 过M点作直线MN平行于V面和 平面 ABC。
b
正平线
d
c m
n
a
●
X
c
a
d
m●
n
b
唯一解
[例4] 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面
① 若一平面上的两相交直线分别平行于另一 平面上的两相交直线,则这两平面相互平行。
两特殊位置平面平行
C
E
B
H
A
F
a c
G e(f)
b
h(g)
c' e'
h'
b'
a'
f'
g'
X
O
a
e(f)
c
b h(g)
② 若两投影面垂直面相互平行,则它们具有积 聚性的那组投影必相互平行。
b
e f
c d
a
X
c
f
a
d
b
➢4. 1 平行问题
• 直线与平面平行 • 两平面平行
⒈ 直线与平面平行
A
B 若:AB∥CD
C
则：AB∥P
D
几何条件:
P
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行, 则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作 图问题的依据。 有关线、面平行的作图问题有:
判别已知线面是否平行; 作直线与已知平面平行； 包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
[例3] 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过 点K作一平面平行于已知平面 。
s
f
k
e
m
n
r
r n
e k
m
f
s
[例4] 试判断两平面是否平行。
结论:因为PH平行SH,所以两平面平行
➢4. 2 相交问题
• 直线与平面相交 • 两平面相交
1. 直线与平面相交
直线与平面相交,其交点是直线与平面的 共有点。
M
P
B
K
m C
c PH
F N k
fb n
AL
a l
b
m k
c
f
l
a n
m kb a
f
l
c
n
2. 判断平面的可见性
2. 判断平面的可见性
例3 求两平面的交线
空间及投影分析:
⑴
MN并判别可见性。 平面ABC与DEF都为
a
b
m(n)
● e
f
c
正垂面,它们的交线为一条 正垂线，两平面正面投影
的交点即为交线的正面投
d
影，交线的水平投影垂直
e
a
n
●
c
d
●m
b
f
还可通过重影点
于OX轴。
① 求交线 ② 判别可见性
从正面投影上可看出,在 交线左侧，平面ABC在上， 其水平投影可见。
e
a X c
b d e
d
b
ac
e
f g
g f
两一般位置平面平行
两特殊位置平面平行
[例1] 判断平面ABDC与平面EFHM是否平行, 已知AB∥CD∥EF∥MH
a
c
m
e
k
h
X
b
d
f
b
O
由于ek不
d
f
h 平行于ac,
a c
k
故两平面
e
m
不平行。
[例2] 试判断两平面是否平行
n m
s r
n m
s
r
结论:两平面平行