变分原理与里兹法

强变分和强极大
如果对于与y=y0(x)的接近度为零阶的一切曲线而 言，即对于y(x)-y0(x)非常小，但对于y’(x)y’0(x)是否小毫无规定，泛函在曲线y=y0(x)上达到 极大(或极小)值，则就把这类变分叫强变分。这样达 到的极大(或极小)值叫做强极大(强极小)，或强变分 的极大(或极小).
A
X
d (y) ( dy )
dx
dx
y* y*(x)
积分与变分运算次序也可以交换。
Y
x2 f [x, y(x)]dx x2 [ f (x, y(x))]dx
x1
x1
dy
y( x) y=y（x）
二. 函数的定义和泛函的定义
1. 函数的定义：
若对于自变量x域中的每一个值，y有一值 与之对应，或数y对应于数x的关系成立。则 称变量y是变量x的函数，即： y= y( x)。
§1.3 变分原理与里兹法
一. 变分的一些基本概念
“最速落径问题”---质量为m的小环从A处自由滑下，
试选择一条曲线使所需时间最短。（不计摩擦）
设路径为 y=y（x）
ds dx2 dy2
v ds
1 y2 dx
dt
dt
a
A
X
y
v 2gh
Y
B
1 y2
dt
dx
2gh
a
所需时间 T[ y(x)] 0
函数的微分:函数的增量 △y=y(x+ △x)- y(x)可以展 开为线性项和非线性项
△y=A(x)△x+(x,△x)△x，其中A(x)和△x无关，
(x,△x)则和△x有关，而且△x0时， (x,△x)
0，称y(x)是可微的，其线性部分称为函数的微分。
即dy=A(x)△x=y’(x)△x。 A(x)= y’(x)是函数的导
泛函的变分: 与函数的微分类似，泛函变分的定义也 有两个。
=[y(x)+y(x)]-[y(x)]=L[y(x)，y(x)]
上式中 L[y(x)，y(x)]就叫做泛函的变分，用表 示。
泛函的变分是泛函增量的主部，而且这个主部对于 y(x)来说是线性的。
泛函的变分: 泛函变分是 [y(x)+y(x)]对的导数 在 =0时的值，且拉格朗日的泛函变分定义为：
弱变分和弱极大
如果只对于与y=y0(x)有一阶接近度的曲线y=y(x) 而言，或者只对于那些不仅在纵坐标间而且切线方向 间都接近的曲线而言，泛函在曲线y=y0(x)上达到极 大(或极小)值，则就称这种变分为弱变分。这样达到 的极大值(或极小值)叫做弱极大(弱极小)，或弱变分 的极大(或极小).
6. 变分法的基本预备定理
[y(x) y(x)]
0
5. 极大极小问题
如果函数y(x)在x=x0 的附近的任意点上的值都不 大（不小）于y(x0)，即 dy=y(x)-y(x0) 0 (0)时， 在x=x0 上达到极大(极小)，在x=x0上，有 :
dy 0
泛函极大极小
泛函[y(x)]也有相类似的定义。
如果泛函[y(x)]在任何一条与y=y0(x) 接近的曲线上 的值不大（不小）于[y0(x)]，即 ：
x2 F(x)y(x)dx 0 x1
则在线段上(x1 , x2) ，有: F(x)=0 y(x)的一般条件为： (1)一阶或若干阶可微分； (2)在线段(x1 , x2)的端点处为0； (3)y(x)或y(x)及y’(x) 等。
从泛函变分极值问题上可以看到变分法的几 个主要步骤：
（1）从物理问题上建立泛函及其条件； （2）通过泛函变分，利用变分法基本预备定理
2. 泛函的定义：
若对于某一类函数{y(x)}中的每一函数 y(x)， 有一值与之对应，或数 对应于函数 y(x) 的关系 成立。则称变量 是函数 y(x) 的泛函，即： =
(y(x))。
3. 微分和变分
微分 : x 的增量 △x 是指某两值之差 △x=x-x1 .如果 x 的微分用 dx 表示，则 dx 也是增量的一种，即当 这种增量很小很小时， dx= △x。
变分: y(x)的增量在它很小时称为变分，用y(x)或 y表示， y(x)是指y(x)和与它相接近的y1(x)之差， 即 y(x)=y(x)-y1(x);这里： y(x)也是x的函数， 只是 y(x)在指定的x域中都是微量。（假定y(x)在 接近y1(x)的一类函数中是任意改变的 ）。
4. 函数的微分和泛函的变分
数，而且
Baidu Nhomakorabea
Δy
lim
Δ x0
Δ
x
y' (x)
函数的微分:设为一小参数，并将y(x+△x)对求导 数，即得：
y( x x) y'( x x)x
当趋近于零时 y( x x) y'( x)x dy( x)
0
证明y(x+△x) 在=0处对的导数就等于y(x）在x 处的微分。这个定义与拉格朗日处理变分的定义是相 似的。
= [y(x)]- [y0(x)] 0 (或0)时，则称泛函 [y(x)]在曲线y=y0 (x) 上达到极大值(或极小值)，而 且在y=y0 (x)上有 :
0
说明：泛函的极大(或极小)值，主要是说泛函的相对 的极大 (或极小)值， 也就是说，从互相接近的许多 曲线来研究一个最大(或最小)的泛函值，但是曲线的 接近，有不同的接近度。因此，在泛函的极大极小 定义里，还应该说明这些曲线有几阶的接近度。
1 y2 dx
2gh
称T为y（x）的泛函， y（x）为自变函数。
即以函数作自变量以积 分形式定义的函数为泛函。
y*(x) y(x) y(x)
称 y(x)为y（x）的变分，它是一个无穷小的任意函数。
变分运算在形式上与微分运算相同。
y2 (x) 2 y(x)y(x)
微分与变分运算次序可以交换。
x x+dx
变分法的基本预备定理
如果函数 F(x)在线段 (x1 , x2)上连续,且对于只满 足某些一般条件的任意选定的函数y(x)，有:
x2 F(x)y(x)dx 0 x1
变分法的基本预备定理 ：如果函数 F(x)在线
段 (x1 , x2)上连续,且对于只满足某些一般条件的任意 选定的函数y(x)，有:
求得欧拉方程；
（3）求解欧拉方程，这是微分方程求解问题。
由于ai 的任意性，所以
u~T A(u~)d u~T B(u~)d 0
~~
~~
而对于等效积分的“弱”形式
CT ( u~) D(u~)d ET ( u~) F(u~)d 0