矢量的运算

点乘的积称为标积或数量积。


为矢量F在S上的投影与矢量S大小之积。
S
对矢量点乘有：交换率 F • S S • F
当θ=0 时
F • S FS 达最大值。
当θ=π/2时
F•S 0
两矢量相互垂直时， 点积为0。
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例2、设有两个矢量分别为：r1
、r2
他们间的夹角为θ。

r
F
M的大小定义为 M=r Fsinθ
M的大小等于矢量r与F所构成
的平行四边形的面积。

M的方向垂直于r与F所构成的平 M
面，指向由右手定则决定。

F
θ
r
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当θ=0 时（两矢量平行时） M=0 矢量积最小。
当θ=π/2时 M=FS 矢量积最大
注意：交换率对矢量的叉乘不成立。因为
r
A

AB

B
3
矢量与数量相乘：记为
C mA
定义为： C = | m | A （即C的模为A的m倍）
当m大于0时, C与A方向相同。 当m小于0时，C与A方向相反。
利用上述乘法的定义，任意一个矢量都可以表示为该矢量的
模与该矢量方向上的单位矢量的乘积。
r rr0
r

r0

任意矢量的单位矢量也可 以表示为：
k )
8
r


r(cosi
cos

j

cosk )
这时 r 是矢量的模，括号中的量是单位矢量。 cosα，cosβ,cosγ也称为该矢量的方向余弦。
矢量与数量相乘时，各分量也相应扩大同样的倍数。
如



F ma maxi may j mazk
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矢量的乘法
物矢理量学的中 点用 乘到 ：的F矢• 量S的 乘FS法c还os有点乘和叉F乘。
利用矢量的解析表示法，设两矢量
r1 x1i y1 j
r
r2

x2i
y2
j
r1
两矢 量之和可以表示为
r r1 r2

x1 x X
(x1 x2 )i ( y1 y2 ) j
采用矢量的解析表示法后，矢量的加减运算转变成为 对矢量的对应分量的加减运算。
dt t0
t
当上述极限存在时 r 的导数存在。对直角坐标系来说:
dr

dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt dt
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如果
r rr0
问这时
d r dt

?
单位矢量表示方向，是可以随时间变化的，所以求导
时要考虑单位矢量的导数。这时：
dr dt
dr dt
r0

r 2 r12 r22 2r1r2 cos
上式开方得： r r12 r22 2r1r2 cos
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例3、设在直角坐标系中的两个矢量分别为：

r1

x1i


y1
j
r2 x2i y2 j
试证明：
解：
r1 •
r1 r2
•
r2
x1x2

y1
F

F
r
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矢量的导数：在物理学中，矢量常常是时间或空间
坐标的函数。也常对矢量函数进行求导
与积分的运算。
设位置矢量 r r是时间的函数，可以表示为： r (t)
在直角坐标系中：
r

x(t)i
y(t)
j
z(t)k
r对时间的导数定义为： dr lim r(t t) r(t)
单位矢量: 模为 1 的矢量称为单位矢量，用于表示方向。常用
r0
表示。
矢量相等：两矢量大小相等，方向相同，则两矢量相等。（即
使他们不再同一起点上。）
A

记为 BA
B
负矢量： 一矢量的负矢量与该矢量大小相等，方向相反。
A

记为 B A
B
2
矢量加法：服从平行四边形法则，合矢量是平行四边形的对角线。
r
dr0 dt
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i
sin
j)
其中r是该矢量的模，而括号中的 项是r方向上的单位
矢量。
r0
cos

i sin
j
在已知x及y的情况下
r x2 y2
tg y
x
例1、设矢量
r

(6i

8
j )m
写出该矢量的模和单位矢量，并用图表示该矢量。
6
Y
y r2
y2 y1
0 x2



A
C 记为 C A B

B

C A
对矢量加法有：交换率 A B B A
B
也可以用三 角形表示。
矢量的减法：
结合率 ( A B) C A (B C)
A B A (B)

定义为：加上 B 矢量的负矢量。
在r三维直x角i坐标系y的j 情况z下k矢量有三个分量：
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yY
r
z
Z
如果已知的是矢量的大小 和方向则：
其中αβγ是r矢量分别与x、 y、z轴所成的夹角。则：
x
x=rcosα
X y=rcosβ
z=rcosγ
这时 r 矢量也可以表示成为：
r

r
(cos

i

cos
Hale Waihona Puke Baidu
j

cos

矢量基础
一、矢量与标量
标量：由大小及单位或量纲表示。运算服从普通 的代数运算法则。
矢量：由大小及方向表示，其合成服从平行 四边形法则。
二、矢量的基本概念
矢量的书写方法：印刷上用黑体字表示 r 。 r 手写时在字符上加一箭号 表示。
矢量的几何表示法：用一带箭头的有向线段表示矢
量。
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矢量的模：矢量的大小称为矢量的模，记为 r或r
试证明矢量合成的平行四边形法则，即两矢量的
合矢量r的大小为：

r
r12 r22 2r1r2 cos
解： r r1 r2
两边对自身点乘
r • r (r1 r2 ) • (r1 r2 )
得：
r • r r1 • r1 r1 • r2 r2 • r1 r2 • r2
y2

(x1i y1 j ) • (x2i
y2
j)

x1i • x2i x1i • y2 j y1 j • x2i y1 j • y2 j )
x1x2 y1 y2
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矢量的叉乘
两个矢量
r与F 的叉乘定义为一个新的矢量
M
记为：
M
r0

r r
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矢量的解析表示法
Y
这里：
y

r
x= r cosθ y= r sin θ
j θ 0i
x
利用矢量加法
X

规定：沿x轴的单位矢量记为： i
j
沿y轴的单位矢量记为：
r 可以表示为x与y分量之和
r
xi
yj


r cos i r sin j
5
r

r
(cos