信号与系统教学课件 第九章 拉普拉斯变换
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1
本章基本内容：
1. 双边拉普拉斯变换； 2. 双边拉普拉斯变换的收敛域； 3. 零极点图； 4. 双边拉普拉斯变换的性质； 5. 系统函数； 6. 单边拉普拉斯变换；
2
9.0 引言 Introduction
傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析 中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号 都可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数 函数是一切 LTI 系统的特征函数。
1 X (s)ds
2 j
24
二.拉氏反变换的求法: 对有理函数形式的 X求(s反) 变换一般有两种方法, 即部分分式展开法和留数法。
❖ 部分分式展开法： 1. 将 X (s)展开为部分分式。 2. 根据X (s)的ROC，确定每一项的ROC 。 3. 利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质, 对每一项进行反变换。
uuuuuuuv (s1) (s1 a)
j
r
s1
s1
uuuuur
0
a
s1 a
a
矢量 su1uu称uuav为零点矢量，它的长度 |表su1uuuuav |
示 X,(其s1幅) 角即为 。S X (s1)
31
2. 单极点情况：
X (s) 1 , 极点 s a
sa
X (s1)
uuu1uuuv s1 a
8
比较 X (和s) X，( j显)然有
X (s) s j X ( j)
当 a 时0， x(t) eatu(t) u(t)
可知 u(t) 1 s
Re[s] 0
例2. x(t) eatu(t)
X (s) 0 eatestdt 0 e(sa)tdt 1 Re[s] a
sa
与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。
5
一.双边拉氏变换的定义：
X (s) x(t)estdt
称为 x(t的) 双边拉氏变换，其中 s 。 j
若 ，0 s 则j有:
X ( j ) x(t)e jtdt
这就是 x(的t)傅里叶变换。
表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换
在 或0 是在 轴j上的特例。
6
由于 X (s) x(t)ete jtdt [x(t)et ]e jtdt
ROC的边界总是与 X (的s) 分母的根相对应的。
若 X (是s) 有理函数
X (s) N (s) M
(s i )
i
D(s) (s i )
i
13
分子多项式的根称为零点，分母多项式的根 称为极点。
将 X 的(s)全部零点和极点表示在S平面上， 就构成了零极点图。零极点图及其收敛域可以 表示一个X (s，) 最多与真实的 X相(s差) 一个常数因 子 。M
10
3. 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达 式，只是它们的收敛域不同。 4. 只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才 能和信号建立一一对应的关系。
5. 如果拉氏变换的ROC包含 j 轴，则有
X ( j) X (s) s j
11
二. 拉氏变换的ROC及零极点图：
例3. x(t) etu(t) e2tu(t)
括 j 轴时，以s j代入 X (s) ，就可以得
到 X ( j)。以此为基础可以用几何求值的方法 从零极点图求得 X ( j) 的特性。这在定性分析 系统频率特性时有很大用处。
30
1. 单零点情况： X (s) s a
零点 s ,要a 求出
和
，则
uv s1
。av
时s的
s1
X
，可X以(s作1 ) 两个矢量
1 est s2
s1u(t)
s
1 est 1
s2 u(t)
etu(t) e2tu(t)
29
9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值
Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plot
❖ 可以用零极点图表示 X (s) 的特征。当ROC包
F[x(t)et ]
所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广， x(的t)
拉氏变换就是 x(t)e的傅t 里叶变换。只要有合适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的
信号在引入 后满e足该t 条件。即有些信号的傅氏
变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变
换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
7
例1. x(t) eatu(t)
22
9. 3 拉普拉斯反变换
The Inverse Laplace Transform
一.定义： 由 X (s) x(t)estdt
若 s j 在ROC内，则有:
X ( j ) x(t)ete jtdt F[x(t)et ]
x(t)et 1 X ( j)e jtd
uuuuuv
S X (s1) S s1 a
j
r s1
0 a
s1
uuuuur s1 a
a
直接由极点向 s点1 作矢量（称为极点矢量），其
长度的倒量为 X,幅(s1角) 的负值为 。S X (s1)
32
3. 一般情况：
对有理函数形式的 X (s)
X (s)
N (s)
M
s i
i
D(s)
s i
因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。
14
9.2 拉氏变换的收敛域
The Region of Convergence for Laplace Transforms ❖ 可以归纳出ROC的以下性质：
1. ROC是 S 平面上平行于 j 轴的带形区域。
2. 在ROC内无任何极点。
3. 时限信号的ROC是整个 S 平面。
表明 也1 在收敛域内。
16
5. 左边信号的ROC位于S平面内一条平行于j
轴的直线的左边。
若 x(t是) 左边信号，定义于 (,T , 0在
ROC 内，1 0，则
T x(t)e1t dt T x(t)e0te(10 )t dt
e(10 )T T x(t)e0t dt
表明 也1 在收敛域内。
4. 右边信号的ROC位于S平面内一条平行于 j
轴的直线的右边。
15
若 x(是t)右边信号, 绝对可x积(t )，e即 0t：
T , t在ROC内0，则有
x(t)e0t dt T
若1 ， 0则
x(t)e1t dt T
x(t)e0te(10 )t dt T
e(10 )T x(t)e0t dt T
4
9.1 拉普拉斯变换
The Laplace Transform
复指数信号 es是t 一切LTI系统的特征函数。
如果LTI系统的单位冲激响应为 h(t)，则系统对
est 产生的响应是:
y(t) H (s)est ，其中 H (s) h(t)estdt
显然当s 时j，就是连续时间傅里叶变换。
所有极点矢量的长度之积即为 。X所(s有1) 零点矢 量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之和即
为 。S X (s1)
当 s取1 为 轴j上的点时，即为傅里叶变换的几何
求值。考查 在 s轴1 上j移动时所有零、极点矢量
的长度和幅角的变化，即可得出 的幅X频( j特)性
和相频特性。 34
例1. 一阶系统： dy(t) y(t) x(t)
25
例1. X (s)
1
(s 1)(s 2)
确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。
极点：s 1, s 2
j
j
j
2 1
2 1
2 1
右边信号
左边信号
双边信号
26
例2. X (s)
1
(s 1)(s 2)
ROC : 2 Re[s] 1
X (s) 1 1 s 1 s 2
1 ROC : Re[s] 1 etu(t) s 1
X (s) eatestdt e(sa)tdt 1
0
0
sa
在 Re[s] 时，a 积分收敛。
当 a 时0 ， 的x(傅t) 里叶变换存在
X ( j ) eate jtdt 1
0
a j
(a 0)
显然，在 a 0时，拉氏变换收敛的区域为 Re[s] ，a包括了 （ 即 0 轴）。j
傅里叶变换是以复指数函数的特例 e jt和 e jn
为基底分解信号的。对更一般的复指数函数 和est ，
也理z n应能以此为基底对信号进行分解。
3
将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下 一章要讨论的中心问题。
通过本章及下一章，会看到拉普拉斯变换和Ｚ变 换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不 仅能解决用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统 分析问题，而且还能用于傅里叶分析方法不适用的 许多方面。拉普拉斯变换与Ｚ变换的分析方法是傅 里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。
X (s) 1 1
b Re[s] b
sb sb
当b 0 时，上述 ROC 无公共部分，表明 X (s)
不存在。
20
当 X (s是) 有理函数时，其ROC总是由 X (s)的极 点分割的。ROC必然满足下列规律：
1. 右边信号的ROC一定位于 X (s) 最右边极点 的右边。
2. 左边信号的ROC一定位于 X (s) 最左边极点 的左边。
2
x(t) 1 X ( j)ete jtd 1 X (s)estd
2
2
23
由 s j 得 ds jd
当 从 时, 从 s j j
x(t) 1 j X (s)est ds
2 j j
X (s)的反变换
拉氏反变换表明:
可x(t以) 被分解成复振幅为
的复指数信号 e的st 线性组合。
9
由以上例子，可以看出: 1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并 非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上 的任何复数都能使拉氏变换收敛。
2. 使拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称 为拉氏变换的收敛域 。拉氏变换的收敛域 ROC （Region of Convergence）对拉氏变换是非常重 要的概念。
3. 双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之间 的带形区域。
21
例3.
X
(s)
s2
1 3s
2
1 1 s 1 s 2
j
2 1
可以形成三种 ROC：
1) ROC： Re[s] 1 此时x(t)是右边信号。 2) ROC：Re[s] 2 此时 x(t)是左边信号。 3) ROC：2 Re[s] 1 此时x(t)是双边信号。
17
6. 双边信号的ROC如果存在，一定是 S 平面内
平行于 j 轴的带形区域。
例1. x(t) eat 0
0t T
其它 t
X (s) T eatest dt 0
T e(sa)t dt 1 [1 e(sa)T ]
0
sa
18
X (s)有极点 s a
考查零点，令 e(sa)T 1
得 s a j 2 k（k为整数）
T
显然 X在(s) s 也 有a一阶零点，由于零极点相抵
消，致使在整个S平面上无极点。 例2. x(t ) eb t
x(t) ebtu(t) ebtu(t) 19
ebtu(t) 1 , Re[s] b
j
sb
b
b
ebtu(t) 1 , Re[s] b
sb
当 b 0 时，上述ROC有公共部分，
X (s) etestdt e2testdt
0
0
1
Q
etu(t) 1 , s 1
Re[s] 1
e2tu(t) 1 , Re[s] 2 2 s2
j
j
12
X (s)
1 s 1
1 s2
s2
2s 3s
3
2
,
j
Re[s] 1
2 1
可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部
分。ROC总是以平行于 j轴的直线作为边界的，
数之和，并加负号，它们构成了 x(t) 的反因果
部分。
28
例3.
X
(s)
s
1
1 s
2
ROC : 2 Re[s] 1
X (s) 的极点 s1 1位于ROC的右边，s2 2位 于ROC的左边。
x(t) Re s[ X (s)est , s1] Re s[ X (s)est , s2 ]
1 ROC : Re[s] 2 e2tu(t) s2
x(t) e2tu(t) etu(t)
27
❖ 留数法（当 X (是s)有理函数时）：
1. 求出 X (s) 的全部极点。 2. 求出 X (s)est 在 ROC 左边的所有极点处的留
数之和，它们构成了x(t) 的因果部分。
wk.baidu.com3. 求出 X (s)est在 ROC 右边的所有极点处的留
因此有:
i
s1 i X (s1) M i s1 i
i
uuuuuuuv
s1 i
X (s1) M
i
uuuuuuv
s1 i
i
uuuuuuuuuv uuuuuuuuv
S X (s1) S s1 i S s1 i
i
i
33
即：从所有零点向 s点1 作零点矢量，从所有极点 向 点s1作极点矢量。所有零点矢量的长度之积除以
本章基本内容：
1. 双边拉普拉斯变换； 2. 双边拉普拉斯变换的收敛域； 3. 零极点图； 4. 双边拉普拉斯变换的性质； 5. 系统函数； 6. 单边拉普拉斯变换；
2
9.0 引言 Introduction
傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析 中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号 都可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数 函数是一切 LTI 系统的特征函数。
1 X (s)ds
2 j
24
二.拉氏反变换的求法: 对有理函数形式的 X求(s反) 变换一般有两种方法, 即部分分式展开法和留数法。
❖ 部分分式展开法： 1. 将 X (s)展开为部分分式。 2. 根据X (s)的ROC，确定每一项的ROC 。 3. 利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质, 对每一项进行反变换。
uuuuuuuv (s1) (s1 a)
j
r
s1
s1
uuuuur
0
a
s1 a
a
矢量 su1uu称uuav为零点矢量，它的长度 |表su1uuuuav |
示 X,(其s1幅) 角即为 。S X (s1)
31
2. 单极点情况：
X (s) 1 , 极点 s a
sa
X (s1)
uuu1uuuv s1 a
8
比较 X (和s) X，( j显)然有
X (s) s j X ( j)
当 a 时0， x(t) eatu(t) u(t)
可知 u(t) 1 s
Re[s] 0
例2. x(t) eatu(t)
X (s) 0 eatestdt 0 e(sa)tdt 1 Re[s] a
sa
与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。
5
一.双边拉氏变换的定义：
X (s) x(t)estdt
称为 x(t的) 双边拉氏变换，其中 s 。 j
若 ，0 s 则j有:
X ( j ) x(t)e jtdt
这就是 x(的t)傅里叶变换。
表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换
在 或0 是在 轴j上的特例。
6
由于 X (s) x(t)ete jtdt [x(t)et ]e jtdt
ROC的边界总是与 X (的s) 分母的根相对应的。
若 X (是s) 有理函数
X (s) N (s) M
(s i )
i
D(s) (s i )
i
13
分子多项式的根称为零点，分母多项式的根 称为极点。
将 X 的(s)全部零点和极点表示在S平面上， 就构成了零极点图。零极点图及其收敛域可以 表示一个X (s，) 最多与真实的 X相(s差) 一个常数因 子 。M
10
3. 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达 式，只是它们的收敛域不同。 4. 只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才 能和信号建立一一对应的关系。
5. 如果拉氏变换的ROC包含 j 轴，则有
X ( j) X (s) s j
11
二. 拉氏变换的ROC及零极点图：
例3. x(t) etu(t) e2tu(t)
括 j 轴时，以s j代入 X (s) ，就可以得
到 X ( j)。以此为基础可以用几何求值的方法 从零极点图求得 X ( j) 的特性。这在定性分析 系统频率特性时有很大用处。
30
1. 单零点情况： X (s) s a
零点 s ,要a 求出
和
，则
uv s1
。av
时s的
s1
X
，可X以(s作1 ) 两个矢量
1 est s2
s1u(t)
s
1 est 1
s2 u(t)
etu(t) e2tu(t)
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9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值
Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plot
❖ 可以用零极点图表示 X (s) 的特征。当ROC包
F[x(t)et ]
所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广， x(的t)
拉氏变换就是 x(t)e的傅t 里叶变换。只要有合适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的
信号在引入 后满e足该t 条件。即有些信号的傅氏
变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变
换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
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例1. x(t) eatu(t)
22
9. 3 拉普拉斯反变换
The Inverse Laplace Transform
一.定义： 由 X (s) x(t)estdt
若 s j 在ROC内，则有:
X ( j ) x(t)ete jtdt F[x(t)et ]
x(t)et 1 X ( j)e jtd
uuuuuv
S X (s1) S s1 a
j
r s1
0 a
s1
uuuuur s1 a
a
直接由极点向 s点1 作矢量（称为极点矢量），其
长度的倒量为 X,幅(s1角) 的负值为 。S X (s1)
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3. 一般情况：
对有理函数形式的 X (s)
X (s)
N (s)
M
s i
i
D(s)
s i
因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。
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9.2 拉氏变换的收敛域
The Region of Convergence for Laplace Transforms ❖ 可以归纳出ROC的以下性质：
1. ROC是 S 平面上平行于 j 轴的带形区域。
2. 在ROC内无任何极点。
3. 时限信号的ROC是整个 S 平面。
表明 也1 在收敛域内。
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5. 左边信号的ROC位于S平面内一条平行于j
轴的直线的左边。
若 x(t是) 左边信号，定义于 (,T , 0在
ROC 内，1 0，则
T x(t)e1t dt T x(t)e0te(10 )t dt
e(10 )T T x(t)e0t dt
表明 也1 在收敛域内。
4. 右边信号的ROC位于S平面内一条平行于 j
轴的直线的右边。
15
若 x(是t)右边信号, 绝对可x积(t )，e即 0t：
T , t在ROC内0，则有
x(t)e0t dt T
若1 ， 0则
x(t)e1t dt T
x(t)e0te(10 )t dt T
e(10 )T x(t)e0t dt T
4
9.1 拉普拉斯变换
The Laplace Transform
复指数信号 es是t 一切LTI系统的特征函数。
如果LTI系统的单位冲激响应为 h(t)，则系统对
est 产生的响应是:
y(t) H (s)est ，其中 H (s) h(t)estdt
显然当s 时j，就是连续时间傅里叶变换。
所有极点矢量的长度之积即为 。X所(s有1) 零点矢 量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之和即
为 。S X (s1)
当 s取1 为 轴j上的点时，即为傅里叶变换的几何
求值。考查 在 s轴1 上j移动时所有零、极点矢量
的长度和幅角的变化，即可得出 的幅X频( j特)性
和相频特性。 34
例1. 一阶系统： dy(t) y(t) x(t)
25
例1. X (s)
1
(s 1)(s 2)
确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。
极点：s 1, s 2
j
j
j
2 1
2 1
2 1
右边信号
左边信号
双边信号
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例2. X (s)
1
(s 1)(s 2)
ROC : 2 Re[s] 1
X (s) 1 1 s 1 s 2
1 ROC : Re[s] 1 etu(t) s 1
X (s) eatestdt e(sa)tdt 1
0
0
sa
在 Re[s] 时，a 积分收敛。
当 a 时0 ， 的x(傅t) 里叶变换存在
X ( j ) eate jtdt 1
0
a j
(a 0)
显然，在 a 0时，拉氏变换收敛的区域为 Re[s] ，a包括了 （ 即 0 轴）。j
傅里叶变换是以复指数函数的特例 e jt和 e jn
为基底分解信号的。对更一般的复指数函数 和est ，
也理z n应能以此为基底对信号进行分解。
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将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下 一章要讨论的中心问题。
通过本章及下一章，会看到拉普拉斯变换和Ｚ变 换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不 仅能解决用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统 分析问题，而且还能用于傅里叶分析方法不适用的 许多方面。拉普拉斯变换与Ｚ变换的分析方法是傅 里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。
X (s) 1 1
b Re[s] b
sb sb
当b 0 时，上述 ROC 无公共部分，表明 X (s)
不存在。
20
当 X (s是) 有理函数时，其ROC总是由 X (s)的极 点分割的。ROC必然满足下列规律：
1. 右边信号的ROC一定位于 X (s) 最右边极点 的右边。
2. 左边信号的ROC一定位于 X (s) 最左边极点 的左边。
2
x(t) 1 X ( j)ete jtd 1 X (s)estd
2
2
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由 s j 得 ds jd
当 从 时, 从 s j j
x(t) 1 j X (s)est ds
2 j j
X (s)的反变换
拉氏反变换表明:
可x(t以) 被分解成复振幅为
的复指数信号 e的st 线性组合。
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由以上例子，可以看出: 1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并 非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上 的任何复数都能使拉氏变换收敛。
2. 使拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称 为拉氏变换的收敛域 。拉氏变换的收敛域 ROC （Region of Convergence）对拉氏变换是非常重 要的概念。
3. 双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之间 的带形区域。
21
例3.
X
(s)
s2
1 3s
2
1 1 s 1 s 2
j
2 1
可以形成三种 ROC：
1) ROC： Re[s] 1 此时x(t)是右边信号。 2) ROC：Re[s] 2 此时 x(t)是左边信号。 3) ROC：2 Re[s] 1 此时x(t)是双边信号。
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6. 双边信号的ROC如果存在，一定是 S 平面内
平行于 j 轴的带形区域。
例1. x(t) eat 0
0t T
其它 t
X (s) T eatest dt 0
T e(sa)t dt 1 [1 e(sa)T ]
0
sa
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X (s)有极点 s a
考查零点，令 e(sa)T 1
得 s a j 2 k（k为整数）
T
显然 X在(s) s 也 有a一阶零点，由于零极点相抵
消，致使在整个S平面上无极点。 例2. x(t ) eb t
x(t) ebtu(t) ebtu(t) 19
ebtu(t) 1 , Re[s] b
j
sb
b
b
ebtu(t) 1 , Re[s] b
sb
当 b 0 时，上述ROC有公共部分，
X (s) etestdt e2testdt
0
0
1
Q
etu(t) 1 , s 1
Re[s] 1
e2tu(t) 1 , Re[s] 2 2 s2
j
j
12
X (s)
1 s 1
1 s2
s2
2s 3s
3
2
,
j
Re[s] 1
2 1
可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部
分。ROC总是以平行于 j轴的直线作为边界的，
数之和，并加负号，它们构成了 x(t) 的反因果
部分。
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例3.
X
(s)
s
1
1 s
2
ROC : 2 Re[s] 1
X (s) 的极点 s1 1位于ROC的右边，s2 2位 于ROC的左边。
x(t) Re s[ X (s)est , s1] Re s[ X (s)est , s2 ]
1 ROC : Re[s] 2 e2tu(t) s2
x(t) e2tu(t) etu(t)
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❖ 留数法（当 X (是s)有理函数时）：
1. 求出 X (s) 的全部极点。 2. 求出 X (s)est 在 ROC 左边的所有极点处的留
数之和，它们构成了x(t) 的因果部分。
wk.baidu.com3. 求出 X (s)est在 ROC 右边的所有极点处的留
因此有:
i
s1 i X (s1) M i s1 i
i
uuuuuuuv
s1 i
X (s1) M
i
uuuuuuv
s1 i
i
uuuuuuuuuv uuuuuuuuv
S X (s1) S s1 i S s1 i
i
i
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即：从所有零点向 s点1 作零点矢量，从所有极点 向 点s1作极点矢量。所有零点矢量的长度之积除以