双曲线的几何性质1

双曲线的几何性质
(1)
秭归一中数学组 付冬
双曲线的标准方程
x2 a2
y2 b2
1(a>0,b>0)
它所表示的双曲线
的焦点在x轴上.
y M
y2 x2 a2 b2 1
(a>0,b>0)
它所表示的双曲线 的焦点在y轴上.
y
M
F2
x
O
F1
O F2 x
F1
2020/9/22
问： （1）根据以上椭圆的性质能大概确定出椭圆的位置吗？ （2）根据以上双曲线的性质能确定出双曲线的位置吗？
索 研
线 在 第 一 象 限 内 的 部 分 进 行 研 究 。
究 这 一 部 分 的 方 程 可 写 为 y = a bx 2 a 2 (x a )
y=b a
x2a2 bx 1(a)2
a
x
b a
x
由 此 可 知 ， 双 曲 线 在 第 一 象 限 的 图 象 总 在 直 线 ybx的 下 方 。
a
2、渐近线是双曲线的特有性 质，作出了双曲线的渐近线， 就基本掌握了双曲线的开口大 小和向远处伸展的变化趋势。
作业 P113 习题 8.4 1. 2.
再见！
祝大家天天都有好心情！
y
想一想
• A•1 a A•2 •
F1
0
F2 x
左方三组曲线哪
一组才能较准确表示双
曲线
x2 y2 1
？
a2 b2
启发思考： 观察下面三条曲线的特点，已知它们分别是
函数 y=2 x ,y= 5 x ,y=1 0 x 的图象，请问可以采用什么方法来快速
找出它们的对应关系？
y
(0,1)
o
x1
x
探 根 据 双 曲 线 的 对 称 性 ， 可 以 取 双 曲
结论一：双曲线在第一象限的 部分总在直线ybx的下方。
a y
ybx a
B2•
• A•1
b a
A•2
•
F1ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
F2
x
B1•
因此黄色那条双曲线是不够准确的，那么剩下的两 条哪条更准确呢？下面我们继续来探究．
渐近线的论证
y
N M
B2
A1
O
A2
B1
N Q
M
X
渐近线的论证
y bx a
Q N (x,Y)
M（ x , y ）
部分总在直线ybx的下方。 a
随着x的增大，逐渐趋近直线y=abx.
总 结 ： 结 合 双 曲 线 的 对 称 性 ， 我 们 把 直 线 y=a bx
叫 作 双 曲 线 a x2 2b y2 21(a y 0,b0)的 渐 近 线 。
O
X
例题:
1.双曲线 9y2－16x2 = 144 的实半轴长是
虚半轴长是 3 , 焦点坐标
5
是 (0, －5) 、(0, 5)
线方程是 y 4 x 3
, 离心率为 4
.
4, ,渐近
2. 双曲线实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2 倍,且 一个顶点坐标为 (0, 2), 则双曲线的标准方程 为 y2 x2 1 .
44
练习
P113 1. 2. 5.
小结： 1、双曲线的简单几何性质；
x2 a2
by22
1(a0,b0)
设 M(x， y)， N(x， Y)
yb a
x2 a2 ，
Y bx a
MN
Yyb(x x2a2) a
b(x x2a2)(x x2a2)
a
x x2a2
ab
x x2 a2
当x逐渐增大时，MN 逐渐减小，
x无限增大，MN 接近于0， MQ 也接近于0。
结论一：双曲线在第一象限的 结论二：双曲线在第一象限的部分