第四章 质点组动力学

第四章 质点组动力学

以彼之道，还施彼身。单身独影自是无风不起浪,无论是亲朋相会,还是冤家聚头,定有故事流传.代数方程在此将笑傲江湖.

【要点分析与总结】 1 质点组

（1） 质心： 1N

i i

i c m r r m

==∑

对于连续体: c rdm r m

=

⎰

（2） 内力与外力: ()1

N e i i i ij i m r F F ==+∑

且内力满足: ij ji F F =-

2 质点组运动的动量、角动量、动能

（1） 动量 c c

p mr p ==

（2） 角动量 1

N i i i c c c c

i L r m r r mr L L =''=⨯+⨯=+∑ （3） 动能 2211122

N c i i c i T mr m r T ='=+=+∑ 1

N

i i T ='∑

3 质点组运动的基本定理

（1） 动量定理：()

1

N

e i i i dP m r F

dt ===∑

质心定理：()e c mr P F ==

（2） 角动量定理：dL M dt =

()e c

dL M dt

=

c

c dL M dt

''=

（3） 动能定理：111

N N N i i ij i i i j dT F dr F dr ====+∑∑∑

对质心：,1;N

i i ij i j i j

dT F dr F dr =≠'''=+

∑∑

4 开放的质点组： ()d dm m u F dt dt

υυ--=

或()d m dm u F dt dt υ-=

<析>此章中许多等式的推导多用到分部积分与等量代换.在本章的习题解答中多用到动量定理,角动量定理与机械能守恒定理的联立方程组,有时质心定理的横空出世会救你于水深火热之中.

【解题演示】

1在一半径为r 的圆圈上截取一段长为s 的圆弧，求出这段圆弧的质心位置。

解：如右图所示建立坐标系 。则：02s r θ=

设c c c r x i y j =+

有：

222

02

022

2222202

0022sin cos cos 0

cos sin 22sin sin sin

2s s c s s s s c s s r ds r d r x s

s

ds r ds r d r r r s

y s

s s s r

ds

θθθθ

ηθθθθθηηθθθθθθη-----

---=

=

==-=

=

===-⎰⎰

⎰⎰⎰⎰

则质心位置为22(0,sin )2r s

s r

， 距顶点o '的位置为2(1sin )2c r s

r y r s r

-=-

2．求出半径为r 的匀质半球的质心位置。

解：如右图所示，取一截面元与底面相距sin d θ，则其质量： 2(sin )(sin )m d r d r ρπθθ= 则：质心与底面距离

22

03(sin )(sin )

23

m

m

didm r r d r d m

r π

θρπθθρπ=

=

⎰⎰

2224203313cos sin (sin sin )224428

00

r r r d ππ

π

θθθθ==-=⎰

3．两只质量均为m '的冰船，静止地放在光滑的冰面上。一质量为m 的人自第一只船跳入第二只船，并立即自第二只船跳回第一只船。设所有的运动都在一条直线上。求两船最后的速度之比。

解：人在两船运动为人与船组成系统的内部作用，故此系统动量守恒，有：12()0m m m υυ''++= 得：

12m m m υυ'

=-'

+

4．一船以速度υ 前进，船上某人以相对速度u

向船头抛出一质量为m 的铁球。已知船和人的总质量是m '。求人抛掷铁所作的功W 。

解：同上题。动量守恒得：()()m u m m m υυυ''''++=+

得：m u m m υυ''=-'

+

系统前后能量变化：

222111()()222

E m m u m m υυυ''''∆=

++-+ 2222111()()()222

2()m u m u m m m m m m m m mm u m m υυυ''''=-++-+''++'=

'+

即：人做功2

2()

mm u W m m '='+

5．一质量为3m 的粒子爆炸成质量相同的三小块。其中两块的飞行方向相互垂直。它们的速率分别是2υ和3υ。求出第三块的速度和动量的大小。

解：设三块的速度分别为123,,υυυ 且：122,3.i j υυυυ==

则依动量守恒 ：1230m m m υυυ++=

得：31233(),23p m m i m j υυυυυυ=-+==--

则：3p υ==

6．重量为W 的大楔子放在光滑的水平面上，在它的斜面上放置一与它相似的小楔子。小楔了的重量是P 。大小楔子的水平边长分别为a 和

b 。小楔子自大楔子顶部静止下滑，求小楔子完全下滑到水平面时，

大小楔子完全下滑到水平面时，大小楔子分别移动了多少距离？ 解：依图设大小楔子水平位移分别为,W P x x

且依水平方向动量守恒：

0W P

Wx Px +=