角平分线 (2)

角平分线

角平分线的定义：一条射线，把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.

角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的举距离相等.到角两边距离相等的点在角的角平分线上. 三角形角平分线性质：三角形三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到三边距离相等.

方法总结：

（1）有角平分线时，常国角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等.

（2）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例1. 如图，MP ⊥NP ，MQ 为ΔNMP 的角平分线，MT=MP ，连接TQ ，

则下列结论中，不正确的是（ ）

A. TQ=PQ

B. ∠MQT=∠MQP

C.∠QTN=900

D. ∠NQT=∠MQT 例2. 如图，OD 平分∠AOB ，在OA ，OB 边上取OA=OB ，点P 在OD 上，PM ⊥BD ，PN ⊥AD.

求证：PM=PN.

例3. 如图，∠B=∠C=900,M 点是BC 中点，DM 平分∠ADC.求证：AM 平分∠DAB.

变式题. 如图，AB ∥CD, ∠ABC 、∠BCD 的平分线恰好交于AD 上一点E ，试说明BC ＝AB+CD.

例4.如图，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于点D,BD,CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC.

（1）求证：OB=OC;

(2 )若将条件“AO 平分∠BAC ”和结论“OB=OC ”互换，命题还能成立吗？请说明理由.

M N P Q T

B O A D M P N D

C A B M A E

D O

B A

C

D E

例5. 如图，BD 平分∠ABC ，AD=DC ，BC>AB,问∠A 与∠C 有怎样的关系？

变式题：若上题中条件该为“BD 平分∠ABC ，BC>AB, ∠A ＋∠C ＝1800.”求证：AD=DC.

例6. 如图，BD 平分∠ABC ，ΔPAC 的面积与ΔPBD 面积相等.求证：OP 平分∠AOB.

例7. EG ，FG 分别是∠MEF 和∠NFE 的平分线，交点是G 点，BP ，CP 分别是∠MBC 和∠NCB 的平

分线，交点是P 点，点F,C 在AN 上，点B,E 在AM 上.如果∠G ＝470，那么∠P 的度数大小你能知道吗？试求出来.点A,P,G 的位置关系如何？证明你的结论.

例8. 如图，CE ⊥AB,BF ⊥AC ，BF 交CE 于D ，且BD=CD ，求证：点D 在∠BAC 的平分线上.

例9.如图，BD ＝DC,ED ⊥BC 交∠BAC 的平分线于E ，作EM ⊥AB,EN ⊥AC,求证：BM ＝CN.

D C A B O D B P C A A B

E

F C P

G B E A D C F B M E

P N

C A

例10.如图,在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，AC=AB+AD.求证：∠B=2∠C

变式题: 如图,在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=2∠C.

求证： AC=AB+AD

例11.如图，D 是等边△ABC 内一点，DB ＝DA ，BP ＝AB ，∠DBP ＝∠DBC.求证：∠P ＝0

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例12.如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，且AB=AC ，BE 平分∠ABC 交AC 于F ，过C 作BE 的垂线交

BE 于E.求证：BF=2CE

例13. D 是BAC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线的交点，DE ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F.求证：.CF BE EF -=

A B D P C A B D C A B D C A E F A D B

C A B C E

F