从综合几何到几何代数化的数学思想方法

从综合几何到几何代数化的数学思想方法

一、几何代数化思想的由来

数学的发展是以数和形两个基本概念作为主干的，数学思想方法的各种变革也是通过这两个概念进行的。在数学的萌芽时期，数和形的研究并不是互相割裂的，长度、面积和体积的量度把数和形紧密地联系起来。可是，在尔后的数学发展中，数和形的联系却长期没能得到进一步的深化。这突出表现在几何和代数的不协调性发展上。

我们知道，几何学作为一门独立的数学学科，最先是在古希腊学者手中形成的，欧几里得《几何原本》的问世就是重要的标志。那时，代数尚处于潜科学阶段，尚未形成严谨的逻辑体系，只是以零散、片断的知识形态存在着。因此，从公元前3世纪到14世纪，几何学在数学中占据着主导地位，而代数则处于从属的地位。由于几何学有着严谨的推理方法和直观的图形，可以把种种空间性质、图形关系问题的探讨，归结成一系列基本概念和基本命题来推演、论证，所以数学家们大都喜欢运用几何思维方式来处理数学问题，甚至把代数看成是与几何不相干的学科。这种人为的割裂，不仅延误了代数的发展，也影响了几何学的进步。

随着数学研究范围的扩大，用几何方法来解决数学问题越来越困难，因为许多问题特别是证明问题往往需要高超的技巧才能奏效，而且推演、论证的步骤又显得相当繁难，缺乏一般性方法。正当几何学难于深入进展时，代数学日趋成熟起来。尤其是在16世纪代数学得到突破性进展，不仅形成了一整套简明的字母符号，而且成功地解

决了二次、三次、四次方程的求根问题。这就使代数学在数学中的地位逐渐得到上升，于是综合几何思维占统治地位的局面开始被打破。

历史上最先明确认识到代数力量的是16世纪法国数学家韦达。他尝试用代数方法来解决几何作图问题，并隐约出现了用方程表示曲线的思想。他指出，几何作图中线段的加减乘除可以通过代数的术语表出，所以它们实质上属于代数的运算。随着代数方法向几何学的渗透，代数方法的普遍性优点日益表露出来，于是用代数方法来改造传统的综合几何思维，把代数和几何有机结合起来，互相取长补短，便成为十分必要的了。

实现代数与几何有机结合的关键，在于空间几何结构的数量化，即把形与数统一起来。这一项工作是由法国数学家笛卡儿完成的。笛卡儿继承和发展了韦达等人的先进数学思想，他充分看到代数思想的灵活性和方法的普遍性，为寻求一种能够把代数全面应用到几何中去的新方法思考了二十多年。1619年，他悟出建立新方法的关键，在于借助坐标系建立起平面上的点和数对之间的对应关系，由此可用方程来表示曲线。1637年，他的《几何学》作为《方法论》一书的附录出版，在这个附录中，他明确提出了坐标几何的思想，并用于解决许多几何问题。此书的问世，标志着解析几何的诞生。与笛卡儿同一时代、同一国度的另一位数学家费尔马，也几乎同时独立地发现了解析几何的基本原理。他的思想集中体现在他的《轨迹引论》一书中。

解析几何的出现开创了几何代数化的新时代，它借助坐标实现了空间几何结构的数量化，由此把形与数、几何与代数统一了起来。

而坐标本身就是几何代数化的产物，是点与数的统一体，它既是点的位置的数量关系表现，又是数量关系的几何直观，因此它具有形与数的二重性。有了坐标概念，就可以把空间形式的研究转化为数量关系的研究了。

例如，求两点间的距离，如果两点的坐标(x1，y1)和(x2，y2)

何学上两点之间的测量问题就转化成代数学上求一个代数式的值的

问题。

再如，求两条曲线的交点，这是几何学中比较困难的一个问题，如果两条曲线的方程给定，那么通过解联立方程组就可求出交点的位置，因为方程组的解恰是二条曲线交点的坐标。

随着解析几何的发展，几何代数的内容和方法不断得到丰富。1704年，牛顿运用坐标方法研究了三次曲线，1748年，欧拉在《分

析引论》一书中全面而系统地论述了平面解析几何的理论;1788年，拉格朗日又把力、速度和加速度给予了算术化，由此开创了解析几何中的向量理论研究方向。与此同时，坐标概念本身也在不断地丰富，除直角坐标系外，又相继产生了斜坐标、极坐标、柱坐标和球坐标。坐标系也从二维扩展到三维以及多维和无穷维，从而又出现了多维解析几何和无穷维解析几何。由此又导致了代数几何和泛函分析的产生。

二、几何代数化的意义

几何代数化对于数学的发展有着重要的意义，这里仅就几个方

面加以分析。

1.把几何学推到一个新的阶段

几何代数化不仅为几何学提供了新方法，使许多难以解决的几何问题变得简单易解，更重要的是为几何学发展注入了新的活力，增添了崭新的内容。

首先，传统几何学的逻辑基础主要是推理，基本上是定性研究，如直线的平行性、曲线的相交、图形的全等等。几何代数化的出现，使得图形性质的研究变成方程的讨论和求解，而方程的研究又主要是数量上的分析，这就把几何学从定性研究阶段推到定量分析阶段。

其次，在传统几何学中，空间概念是在人们的社会实践活动中逐渐抽象和确立起来，这种空间概念具有明显的直观性和经验性，如一维的直线、二维的平面和三维的立体。几何代数化的出现，使得空间的几何结构实现了数量化，而数量化了的空间几何结构已不再局限于一维、二维和三维，它可以是n维以至无穷维的，这就把几何学的空间概念从低维扩张到了高维，即把几何学研究的内容从现实空间图形的性质扩展到抽象空间图形的性质。

第三，传统几何学主要研究固定不变的图形，如各种各样的直线形和曲线形，这些图形虽然可以移动和相互变换，但图形本身的结构却是“死”的，即传统几何学是一种静态几何学。几何代数化的出现，使得曲线变成了具有某种特定性质的点的轨迹，即可把曲线看作是由“点”通过运动而生成的，这就使人们对形的认识由静态发展到了动态。

2.为代数学研究提供了新的工具

几何代数化不仅直接影响和改造了传统的几何学，扩大了几何

学的研究对象，丰富和发展了几何学的思想方法，而且也使代数学获得了新的生命力。

首先，几何学的概念和术语进入代数学，使许多代数课题具有

了直观性。我们知道，和几何学相比，代数学具有更高的抽象性，许多抽象的代数式和方程使人难以把握它们的现实意义。几何代数化的出现，为抽象的代数式和方程提供了形象而直观的模型。如可把方程的解看作是曲线的交点的坐标，可把二次方程根与系数关系的研究转化为考察和分析圆锥曲线与坐标轴的相对位置。

其次，几何学思想方法向代数学的移植和渗透，开拓了代数学

新的研究领域。如以线性方程（一次方程）为主要对象的线性代数，就是在线性空间概念的基础上构造起来的，这里的“线性”、“空间”等概念并不是代数学本身所固有的，而是从几何学中借用的。

3.为微积分的创立准备了必要条件

几何代数化思想形成的标志是解析几何的创立，笛卡儿在创立

解析几何过程中，不仅提出了代数与几何相结合的思想，而且把变数引进了数学。变数的引进，对于数学的发展有着极为重要的意义，特别是为微积分的创立准备了重要工具，加速了微积分形成的历史进程。从这种意义上看，可把解析几何的产生看作是微积分创立的前奏。对此，恩格斯曾高度评价：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了”。