第二章 工业过程数学模型

（2-11）
（2-12）
19
其中
B( z 1 ) b1 b2 z 2 bnb z nb n F ( z 1 ) 1 f1 z 1 f 2 z 2 f n f z f n 1 1 2 C ( z ) 1 c1 z c2 z cnc z c D( z 1 ) 1 d1 z 1 d 2 z 2 d nd z nd
特征：这类过程具有S右半平面的零点（正零点）。 K2 自衡 G G1 G2 对象模型表示为两个环节的差 T2 S 1 G2 K1 G1 无自衡 K 2 T1S 1 S
自衡反向特性
G
K (1 Td S ) K1 K2 ( K K 2 ) (T1 K 2 K1T2 ) S 1 T1S 1 T2 S 1 (T1S 1)(T2 S 1) (T1S 1)(T1S 1)
第二章: 工业过程数学模型
主要内容
2.1 工业过程稳态数学模型 2.2 工业过程动态数学模型
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引言
要控制一个过程，必须了解过程的特性。 过程的数学模型：过程特性的数学描述。 稳态指的是过程在输入和输出变量 达到平稳状态下的行为。 动态指的是输出变量和状态变量在输 入影响下的变化过程的情况。
过程特性
无自衡反向特性
G
K1 K ( K T K ) S K 2 K (1 Td S ) 2 1 1 2 T1S 1 S (T1S 1) S (T1S 1) S
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反向特性的工程实例
工程实际中，最典型的就是汽包水位的特性，当蒸汽量D增加， 给水量不变时，液位应是如H1所示，但实际并非如此，由于蒸 汽量D上升，汽包压力下降，汽包内水沸腾突然加剧，汽包容 积增加，液位如H2所示是增加的过程。
2）离散系统输入输出模型 离散系统输入输出模型可以用差分方程的形式：
y(k ) a1 y (k 1) ana y (k na ) b1u (k 1) bnb u (k nb ) （2-3）
（2-3）
z 变换
G( z)
z y (k ) z u (k )
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如果（2-5）式还受到噪声的影响，则有：
(k ) 零均值白噪声
A( z 1 ) y(k ) B( z 1 )u(k ) D( z 1 ) (k )
其中
（2-6）
D( z 1 ) 1 d1 z 1 d 2 z 2 d nd z nd
根据以上不同的噪声形式，可将模型分为以下几种时间序列模型：
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2.2.2 动态数学模型的类型
被控对象动态数学模型类型有三种：
（1）集总参数数学模型
（2）分布参数数学模型
（3）多级数学模型 动态数学模型的表达方式很多，对它们的要求也各 不相同，主要取决于建立数学模型的目的。
非参量形式：即用曲线或数据表格来表示。 （形象、直观，但对进行系统的设计和综合不方便）。 参量形式：即用数学方程来表示。（微分方程、传递函 数、差分方程、脉冲传递函数、状态方程等）
n b , n , n , nd 分别为相应多项式的阶次 f c
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2.2.3 建立动态数学模型的途径 机理模型的建立
机理建模：就是根据工业生产过程的机理，写出 各种有关的平衡方程以及反映流体流动、传热、 传质、化学反应等基本规律的运动方程，从中获 得所需的数学模型。
过程辨识和参数估计（试验建模）
正弦波
Yes Yes No Yes
尚小 小 无 较小
非周期 白噪音/规定 的随机函数 性 随机函 日常工作纪 数 录 周期性 准随机双值 随机函 信号 数
较长 大，计算机 长 大，计算机 中 大，计算机
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模型
• 模型形式 • 时滞情况 • 方程阶次
G( s) K e s Ts 1
G( s) K e s (T1 s 1)(T2 s 1)
H1 K1 S
H2 K2 T2 S 1
K1 K2 H( s) D( s ) S T2 S 1
所以出现蒸汽量D增加时， 一开始汽包水位H不降反增（虚 假水位），一段时间后才下降 ，且为无自平衡过程。
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纯滞后环节
输入变化后，输出量并不立即改变，要经过一段时间才 反映出来。工程中普遍存在滞后，因为物料能量的传输、元件 本身特性等，又因为不能立即观测出影响，滞后时间τ大时较 难控制。
① 带控制量的自回归模型（CAR，或称ARX）模型
A( z 1 ) y(k ) B( z 1 )u (k ) (k ) A( z 1 ) y(k ) B( z 1 )u(k ) D( z 1 ) (k )
（2-7）
② 带控制量的自回归滑动平均模型（CARMA或ARMAX）模型 （2-8）
动态特性是在稳态特性基础上的发展，稳态特 性是动态特性达到平稳状态的特例。
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2.1 工业过程稳态数学模型
稳态数学模型的用途： 1.被控变量与操纵变量的选择； 2.监测点位置的选择； 3.控制算法设计； 4.操作优化控制的设计。 稳态模型建立的途径： 1.机理建模 2.经验模型 3.机理与经验的组合模型
K G( s ) S
K G ( s) (T1S 1) S
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自衡振荡过程
当平衡破坏后输出上下振荡，最后达到新的平衡。
K G( s) 2 2 T S 2 TS 1
0 1
0, 等幅振荡 1，不振荡，双容环节
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具有反向特性的过程
在阶跃扰动下，系统输出开始时与终止时出现反向（先升后 降或先降后升），有两种类型：有自平衡和无自平衡
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（1）参数模型
1） 连续系统输入输出模型 连续系统输入输出模型典型形式：
d na y (t ) d na 1 y (t ) dy (t ) a1 ana 1 ana y (t ) na na 1 dt dt dt d nb 1u (t ) du (t ) b1 bnb 1 bnb u (t ) na nb nb 1 dt dt
辨识：就是在输入和输出数据的基础上，从一组 给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模 型。
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辨识方法比较表
信号类型 阶跃函数
非周期 函数
需要专 测试精 用设备 确度 No 尚好
对工艺 影响 大
测试 时间
计算工作 量
其他
脉冲函数
周期函 数
NO
低
低频部 分好 尚好 较低 较低
较小
会受干扰， 小，可手工 短 可能会进入 算 非线性区域 会受干扰。 小，可手工 如参数不回 短 算 原值，误差 较大 长 中等
3
2.1.1
机理建模
机理建模:从机理出发，即从过程内在的物理 和化学规律出发建立稳态数学模型。
举例——无相变的换热器：两侧流体都不起相变化 （查阅“过程控制”书，自学）
G2 , 2 i
G1 , 1i
G1 ,1o
G2 , 2o
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2.1.2 经验模型
经验模型法：通过测试或依据积累的操作数据，用数 学方法回归，从而得出模型的方法
（1）主体上按照机理方程建模，对其中的部分参数则通过实 测得到；
（2）通过机理分析，得出数学模型的函数形式，这样估计参 数就比较容易； （3）由机理出发，通过计算或仿真，得到大量的输入/输出数 据，再用回归方法得出简化模型。控制用的数学模型有实时性 要求，必须简单，但机理模型在数学上较为复杂，不能直接用 作控制用的模型，因此只能预经计算或者仿真得到数据，然后 回归出数学模型。
经验模型的建立需要四个步骤： 第一步，确定输入变量与输出变量。 注意：输入变量的数目不宜太多。 第二步，进行测试。
注意：选取变化区域不能过宽和过窄；吸收调优操作的
经验；是否真正建立稳态。
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第三步，建模：对数据进行回归分析或神经网络建模
•
•
回归方法：最小二乘法、F检验法、复相关系数分析法
模型简化：非线性—线性化 在工程处理上，令非线性项作为新的变量，使方程成
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2.2
源自文库
工业过程动态数学模型
过程的动态数学模型，对控制系统的设 计与分析有着极为重要的意义。
动态数学模型是表示输出变量与输入变 量之间随时间而变化的动态关系的数学描述。 建立动态数学模型的途径 机理模型的建立
过程辨识和参数估计（试验建模）
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2.2.1 动态数学模型的要求
1. 简单: a)如果对复杂的模型进行在线实时控制，要按 照目标函数计算最优控制就十分费时，计算工作量大， 需要高速的计算机； b)复杂的模型用在前馈控制、解耦控制及模式 控制时，控制规律也就复杂，不易实施； c）复杂模型的参数多，若依据输入/输出数据 估计得到，则难以保证所得参数的精度。 阶次不高于3次， 用时滞的一阶或二阶形式 2.正确可靠
具有时滞的一阶环节：
具有时滞的二阶非振荡环节：
具有时滞的积分环节：
G( s)
K s e s
G( s) K e s (Ts 1) s
具有时滞的一阶和积分串联环节 衰减振荡环节： Gs
K
s 2 2 s 2
e s 0 1
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常见的过程模型类型 自衡非振荡过程 无自衡非振荡过程 自衡振荡过程 具有反向特性的过程

b1 z 1 b2 z 2 bnb z nb 1 a1 z 1 ana z na
（2-4）
（2-4)式可写成更一般的形式：
离散系统脉冲传递函数
A( z 1 ) y(k ) B( z 1 )u (k )
a a
（2-5）
其中 A( z 1 ) 1 a1 z 1 a2 z 2 an z n ， B( z 1 ) b1 z 1 b2 z 2 bn z nb b
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差分方程的参数模型中是否含有随机扰动，可 分为：（以SISO系统为例）
确定性模型 随机模型
A( z ) y(k ) z B( z )u (k )
1
d
1
A( z 1 ) y(k ) z d B( z 1 )u (k ) C ( z 1 ) (k )
自回归模型（AR） 滑动平均模型（MR） 自回归滑动平均模型（ARMA） 带控制量的自回归模型（CAR） 带控制量的自回归滑动平均模型（CARMA） 带控制量的自回归积分滑动平均模型（CARIMA）
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③ 自回归滑动平均（ARMA）模型
A( z 1 ) y(k ) D( z 1 ) (k )
④ 自回归（AR）模型
（2-9）
A( z 1 ) y(k ) (k )
⑤ 滑动平均（MA）模型
（2-10）
y(k ) D( z 1 ) (k )
⑥ Box-Jenkins模型(简称BJ模型) B( z 1 ) C ( z 1 ) y (k ) u (k ) (k ) 1 1 F (z ) D( z )
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自衡非振荡过程
对象在扰动作用下，平衡状态被破坏后，不需要操作人员或 仪表控制器进行操作，系统自身能重新恢复平衡的特性。
K G(S ) TS 1
K G(s) (TS 1)n
K G( s) (T1S 1)(T2 S 1)
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无自衡非振荡过程
扰动后，平衡状态被破坏后，过程输出一直上升或下降， 依靠自身能力不能恢复平衡的过程。
（2-1）
经典控制理论中，传递函数是系统输入输出关系的常用表达式： （2-1）
Y (s) B(s) G ( s) na （2-2） na 1 U ( s ) s a1s ana 1s ana A( s ) 15 拉氏变换
b1s nb 1 bnb 1s bnb
为线性形式。
2 y a11u1 a12 u1 u2 a22 u2
y a11u1 a12 u3 a22 u4
线性化的优点：工程处理方便 缺点：增加自变量数、扭曲坐标轴或尺寸 第四步，检验
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2.1.3 组合模型
机理模型-白箱建模；经验模型-黑箱建模；组合模型-灰箱建模。 两种途径结合，可取长补短。