管理运筹学第九章图论

(3+,1)
) 6 2 (22 ,22
1
(3,1
)
(7,5)
(s+,)
s
(9 ,9)
(15,10)
(s+,5) (12,10) 2 5
(5, (2+,2) 5)
(4,4)
(1
3,1
)
t
(1 1 9,1 )
(4+,2)
3) (6,
3
2013-8-2
(6, 5)
4
(5,2)
28
(1
4 4,1
)
1
(16,15)
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饱和弧、不饱和弧、流量的间隙 1、如果fij=cij，弧从i到j的方向是饱和的；
1 cij=5
2
（1，2）是饱和的
fij=5
2、如果fij <cij，弧从i到j的方向是不饱和的；
1 cij=5 fij=3
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2
（1，2）是不饱和的 间隙为θ12=c12-f12=5-3=2
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3、如果fij=0，弧从j到i的方向是饱和的；
1 cij=5
fij =0 2
（2，1）是饱和的
4、如果fij>0，弧从j到i的方向是不饱和的；
1 cij=5 fij =5 2
（2，1）是不饱和的 间隙为θ12=f12=5
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24
截集与截集容量
把网路中的节点分割为两个非空集合，其中包含
2 : 逐步寻找下个点，将找到最短路的点放到Si 集合即可。
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16
某台机器可连续工作4年，也可于每年末卖掉，换一台新 的。各年初购臵一台新机器的价格及不同役龄机器年末的 处理价如下表所示。又新机器第一年运行及维修费为0.3 万元，使用1-3年后机器每年的运行及维修费用分别为0.8， 1.5，2.0万元。试确定该机器的最优更新策略，使四年内 用于更换、购买及运行维修的总费用为最省。
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12
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13
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14
最短路
针对一个有向图，如果从其中一点到另外一点，
权数之和最小的路为最短路。
主要算法：Dijkstra方法。
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15
P表示起点vs到某点的最短路；T 表示vs到某点的最短路的上界 1：i 0, s0 v1 , P v1 0, v1 0, T (vs ) , (vi ) M Si 表示i步时具有P标号的集合; (vi )表示vi 前的一个点。
4 6 1 6 2 6 3 2 2 5 4
2
5
7
3
3
1
2
19
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弧的容量cij：其最大通过能力
s
s
csa
a
s
s
csa a
f sa
cat t
f at
f sa
cat
f at
t
fij = cij ，称为饱和弧 fij < cij ，称为非饱和弧 fij = 0, 为零流弧 fij > 0, 为非零流弧
25
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f

f

确定网路最大流的标号法
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26
s
(5,1)
s2=4
2
(1,1)
32=1
3
(1,1)
43=1
4
(3,0)
45=3
5
(5,3)
5t=2
t
c ij f ij 前向弧 增广量 = min ij ij 后向弧 = min(4,1,1,3,2)= 1 f ij (5,2) (1,0) (1,0) (3,1) (5,4) s 2 3 4 5 t
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3
有6名运动员报名参加ABCDEF6个项目的比赛， 其中：甲DF；乙ABD；丙CE；丁AE；戊BE；己 BD。请问6个比赛的顺序如何安排，使得每名运动 员不连续参加两项比赛？
10名学生参加6门课程考试，考试的门数也不相同， 为1ABD;2AC; 3AF;4BEF;5ACD;6CE; 7CEF;8BD;9ABF;10ACF;考试三天内结束，每天上 下午各安排一门，学生提出希望每天最多考一门， F安排在最后一门，排出满足上述要求的课表？
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17
网路的最大流问题
• 在一定条件下，使网络系统中从开始点到结束点 之间的某种物资流的流量达到最大的问题。限制
条件是每一条边的最大通过能力（流量）不等。
但有多条路。 • 讨论的是有向图问题。
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• 例：某公司欲采用这个网络图从1地向销地7运送原油， 弧的容量cij（万升/时）已给定（因管道直径的变化， cij不完全相同）。问如何安排输送，方能使每小时运 送的原油最多？
命题：一个图如果能一笔划出，则该图必为欧拉图 或者含有欧拉链。
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定理：连通的多重图含有欧拉圈，则该图中无奇点。 推论：连通的多重图含有欧拉链，则有且仅有两个
奇点。
具体做法：增加一些重复边，使得新图不含有奇点，
且重复边的权和最小。
步骤：找出奇点，进行组合；写出统一组合链（可 以任意）加上重复点；对重复边增加为偶数，可以 去掉偶数边（最优方案中，每条边上至多一条重复 边。且
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(1
,14 4
)
1
(16,15)
(6, 6)
(5, 5)
(4,3) (16,15)
(7,5)
(s+,)
s
(9 ,9)
(1
(15,9)
(s+,6)
(3,1
)
2 (12,10)
(1
3,1
6 2)
(22
,22
)
5
3) (6,
t (4+,1)
(1 ,10 9 )
3
4
(2,6)
4 4,1 )
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树（针对无向图）：无圈的连通图；
树的重要性质：
如果树中点数≥2，则至少有两个悬挂点； 图为树的充要条件是图中不含圈，恰有p-1边； 图为树的充要条件是图为连通图，且q=p-1； 图为树的充要条件是两个顶点之间只有一条链；
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10
推论：
树中除掉一条边，则余下的图是不连通的； 在树中不相邻的两点之间加上一条边，则恰好得 到一个圈； 图有支撑树的充要条件是图示连通的；
(s+,3)
(3,1
)
2 (12,12)
(1
3,1
6 2)
(22
,22
)
5
1) (6,
t
(1 ,13 9 )
3
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4
(2,3)
29
1
(12,10) (10,5) (9,7) (6,6)
(16,11) (3,1)
6
(13,9)
(22,16)
s
2 (15,9
(5,2)
5
(6,1)
(7,4) (19,6)
(3,1
)
(6, 5)
(5, 5)
(4,4) (16,15)
(7,5)
s
(9 ,9)
(15,10)
2 (12,10)
(1
3,1
) 6 2
(22
,22
)
5
3) (6,
t
(1 ,11 9 )
3
4
最小截集
(1 ,14 4
)
1
(6, 5)
(5, 5)
(4,4)
(7,5)
(s+,)
s
(9 ,9)
(15,12)
流量fij：实际通过能力 一个发点s，一个收点t 节点没有容量限制，流在节点不a会存储 t
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20
■可行流：满足以下条件的流称为可行流： 1、容量限制条件： 0≤fij ≤cij
2、平衡条件：
fij
is v( f ) f ji 0 i s, t v( f ) i t
(6,2)
(2,4)
(3,10)
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33
中国邮递员
一个邮递员，走村串巷送信，每个巷子走一次，问 如何走使得路最短？即通常的一笔划问题。
对于一个连通的多重图，若存在一条链，每边过一 次仅一次，为欧拉链；若存在一个简单圈，每边过 一次仅一次，为欧拉圈。一个图含有欧拉圈则为欧 拉图。
图T (V , E , )是图G (V , E )的支撑子图，如果图 T (V , E , )是一个树，则T 是G的一个支撑树。
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11
寻求连通图的支撑树的方法主要有：
破圈法和避圈法
如果给图中每一条边都给与一个数，那么这样的 图为赋权图； 如果支撑树中，所有边的和为最小，那么该支撑 树为图的最小支撑树。
图与网络分析
Map and network analysis
江文奇 博士
南京理工大学经济管理学院管理工程系
Email: wqjiang_8@163.com
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1
授课内容
图和树的基本概念
最短路
网络最大流
最小费用最大网络流
中国邮递员
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2
图和树的基本概念
图论广泛应用于物理学、化学、控制论、信息论、科 学管理和计算机等领域，如通讯网络的设计、交通网 络的合理分布、邮递员线路的优化设计等问题。 最早：欧拉关于七桥问题。 图主要由点和点之间的连线组成，其中点主要代表研 究对象，而连线表示研究对象之间一种特定的关系。
t
3
(4,1)
4
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30
Fra Baidu bibliotek
最小费用最大流
双权网路：每条弧不但有容量，还有单位流量的通
过费用.
两种解法：一种基于最小费用路径算法；一种基于 可行弧集的最大流算法 基于最小费用路径算法：总是在当前找到的最小费 用的路径上增广流；缺点是每次增广后要改变弧的
费用，且出现负权值费用的弧。
5
端点、关联边、环、多重边。 无环无多重边的为简单图；无环有多重边的为多
重图。
以其中任意一点v为端点的边的个数为次，记为 d(v)，次为1的点位悬挂点，悬挂点的关联边为悬 挂边，次为0的点位孤立点。次为奇数的点为奇 点，否则为偶点。
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6
任意一图中，奇点的个数为偶数。
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4
研究对象之间的关系可能具有对称性和非对称性，
因此将图划分为无向图和有向图。
边和弧；不带箭头和带箭头； 无向图（点和边）：G=(V,E) 有向图（点和弧）：D=(V,A) 无向图和有向图中点的个数为p(G)、 p(D)；边 或者弧的个数为q(G)、q(D)。
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2013-8-2 7
2013-8-2
8
图中任意两点之间，至少有一条链，则为连通图， 否则为不连通图；对不连通图，每个连通的部分
为连通分图。
支撑子图（去掉某些边后，是连通的）、基础图 （有向图去掉方向）、 弧的路、回路。
(vi1 , ai1 , vi2 , ai2 ,, aik1 , vik ); ait (vit , vit1 )
v j A ( vi )
v j B ( vi )
•总存在最大可行流，该问题是一个线性规划问题
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发点vS和收点vt的一条链
s s
a
b
t
链的方向一致的弧, 称为前向弧, 记为u+
a
b
t
链的方向相反的弧, 称为后向弧, 记为u设f是一个可行流, u是从a到t的一条链,若 u满足以下条件, 称之为一条增广链 . 1、在弧(vi ,vj) u+ , 0≤fij < cij , 即u+中每一弧是非饱和弧. 2、在弧(vi ,vj) u- , 0 < fij ≤cij , 即u-中每一弧是非零流弧.
图G=(V,E)中，点边交错的序列为链；在链中，
如果起始点与终点相同，为圈；如果圈中，中间 点不相同，为初等圈； 在链中，如果中间点都不相同，为初等链 如果链或者圈中，边均不相同，为简单链或圈。
(vi1 , ei1 , vi2 , ei2 ,, eik1 , vik ); eit (vit , vit1 )
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图中每个圈中重复边的总权不能大于该圈总权的一
半。
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36
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31
基于可行弧集的最大流算法：从
0 费用弧集开始应
用最大流算法，
然后根据计算信息提高费用的限界P使可行弧集增大，
再应用最大流算法，直至所有弧都进入可行弧集。这
种算法是一种主-对偶规划的解法。 使用这种方法的还有运输问题、匹配问题.
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(4,10)
(1,7)
(2,5) (1,8)
Vs点的节点集合用V表示，包含Vt点的节点集合用
容量是指截集中正向弧的容量之和
iV jV
c(V ,V ) V的补集表示, 称为是分离Vs 和Vt的截集；截集 cij
福特-富克森定理：网路的最大流等于最小截集容 量；若可行流是最大流，当且仅当不存在关于该

可行流的增广链。
v( f ) c(V ,V )