扭转时横截面上的应力

第三节扭转时横截面上的应力

一、应力分布规律

为了建立扭转的强度条件，在求出了圆轴各截面上的扭矩值后，还需要进一步研究扭转应力的分布规律，因而需要研究扭转变形。下面通过一个具体的实例来看看扭转变形。

取一根橡胶圆棒，为观察其变形情况，试验前在圆棒的表面画出许多圆周线和纵向线，形成许多小矩形，见上图。在轴的两端施加转向相反的力偶矩m A、m B，在小变形的情况下，可以看到圆棒的变形有如下特点：

1．变形前画在表面上的圆周线的形状、大小都没有改变，两相邻圆周线之间的距离也没有改变；

2．表面上的纵向线在变形后仍为直线，都倾斜了同一角度，原来的矩形变成平行四边形。两端

的横截面绕轴的中心线相对转动了一个角度，叫做相对扭转角，见下图。，理解微元体的获得。

通过观察到的表面现象，可以推理得出以下结果：

★各横截面的大小、形状在变形前后都没有变化，仍是平面，只是相对地转过了一个角度，各横截面间的距离也不改变，从而可以说明轴向纤维没有拉、压变形，所以，在横截面上没有正应力产生；

★圆轴各横截面在变形后相互错动，矩形变为平行四边形，这正是前面讨论过的剪切变形，因此，在横截面上应有剪应力；

★变形后，横截面上的半径仍保持为直线，而剪切变形是沿着轴的圆周切线方向发生的。所以剪

应力的方向也是沿着轴的圆周的切线方向，与半径互相垂直。

由此知道扭转时横截面上只产生剪应力，其方向与半径垂直。

下面进一步讨论剪应力在横截面上的分布规律。

为了观察圆轴扭转时内部的变形情况，找到变形规律，取受扭转轴中的微段dx来分析(上图a)。假想O2DC截面象刚性平面一样地绕杆轴线转动dϕ，轴表面的小方格ABCD歪斜成平行四边形ABC'D'，轴表面A点的剪应变就是纵线歪斜的角γ，而经过半径O2D上任意点H 的纵向线EH在杆变形后倾斜了一个角度γρ，它也就是横截面上任一点E处的剪应变。应该注意，上述剪应变都是在垂直于半径的平面内的。设H点到轴线的距离为ρ，由于构件的变形通常很小，即

所以 (a)

由于截面O2DC象刚性平面一样地绕杆轴线转动，图上△O2HH'与△O2DD'相似，得

(b)

将式(b)代入(a)式得(1-40)

上式表明，圆轴扭转时，横截面上靠近中心的点剪应变较小；离中心远的点剪应变较大；轴表面点的剪应变最大。各点的剪应变γρ与离中心的距离ρ成正比。

根据剪切虎克定律知道剪应力与剪应变成正比，即τ=G·γ。在弹性范围内剪应变γ越大，则剪应力τ也越大；横截面上离中心为ρ的点上，其剪应力为τρ；轴表面的剪应力为τ。因此有τρ= G·γρ，τ=G·γ

代入（1-40）式可得(1-41)

上式即说明了圆轴扭转时横截面上剪应力分布的规律是：横截面上各点的剪应力与它们离中心的距离成正比。圆心处剪应力为零，轴表面的剪应力τ最大。分布情况如下图所示。

在横截面上剪应力也与剪应变有相同的分布规律。即

(1-42)

二、横截面上剪应力计算公式与最大剪应力

要计算剪应力，只知道了横截面上剪应力分布规律还不够，还必须分析截面上的扭矩M与剪应力τ之间的关系。在截面上任取一距中心为ρ的微面积d A，作用在微面积上的力的总和τρ·d A，对中心O的力矩等于τρ·d A·ρ。截面上这些力矩合成的结果应等于扭矩M，即

将式（1-42）代入得

令，称做截面的极惯性矩。则上式可以改写为

再令，称做抗扭截面模量。则得到

(1-43)

将式(1-43)代入式(1-42)，可得出横截面上任一点的剪应力计算公式

(1-44)

三、极惯性矩Jρ与抗扭截面模量Wρ的计算

极惯性矩Jρ与抗扭截面模量Wρ是与截面尺寸和形状有关的几何量，可以按下述方法计算。

(1) 对实心圆轴来说，如上图，可以取一圆环形的微面积d A，则d A=2π·ρ·dρ，因此

(2) 对内径为d，外径为D的空心圆轴，它的极惯性矩Jρ与抗扭截面模量Wρ分别为

，

令d/D=α，则

应当注意的是：圆形截面的极惯性矩是外圆与内圆的极惯性矩之差；而它的抗扭截面模量却不是外圆与内圆的抗扭截面模量之差。

下面是两道例题，供读者参照。

例1-22.设搅拌轴的转速为n＝50r/min，搅拌功率为N=2kW，搅拌轴的直径d=40mm，求轴内的最大应力。

解析：

轴的外力偶矩为N·m

抗扭截面模量为N·m

杆在扭转时的最大剪应力为

MP a

例1-23.有一实心圆轴，直径为d=81mm；另一空心轴的内径为d=62mm，外径为D=102mm，这两根轴的截面积相同，等于51.5c m2。试比较这两根轴的抗扭截面模量。

解析：

实心轴N·m

空心轴N·m

由此可见，在材料相同、截面积相等的情况下，空心轴比实心轴的抗扭能力强，能够承受较大的外力矩。在相同的外力矩情况下，选用空心轴要比实心轴省材料。这从圆截面的应力分布也可以看出，实心轴圆周上的最大剪应力接近于许用剪应力时，中间部分剪应力还与许用剪

应力相差很远，中间的材料大部分没有充分发挥它的作用。但空心轴比实心轴加工制造困难，造价也高，在实际工作中，要具体情况具体分析，合理地选择截面的形状与尺寸。