材料力学教材内力与内力图

2
剪力函数
q0 1 L FS ( x) q0 L x 24 L 2
弯矩函数
q0 1 L M ( x ) q0 Lx x 24 3L 2
3
q0 A L/ 2 L/ 2 B
q0 1 L FS ( x) q0 L x 24 L 2
M ( x)
2
q0 L / 24
q 1 L q0 Lx 0 x 24 3L 2
面弯矩的绝对值相等时，才能
使最大绝对值弯矩为最小。
1 2 1 qa qLL 4a 2 8 1 a 2 1L 0.207 L 2
例
画出结构的剪力和弯矩图。
2 kN/m F E 4m
m
G
4m D 4m 4m YD=0 YC=10
G
0 0 0 0
YD 0 YA 4 kN
可以不考虑右侧荷载。
是 非 判 断 题
01 用截面法分析杆件的内力时，由于左端截面上的内力与右 端截面上的内力大小相等，方向相反，因此左端截面上的内力 与右端截面上的内力大小相等，符号相反。
对 错
02 用截面法分析杆件的内力时，保留左端部份所得到的结果 与保留右端部份所得到的结果是完全相同的。
对 错
FL F L n 1 F L n 1 1 2 4 n 2 2 n n 1 2 FL (n 1) FL (n 1) FL (n 1) FL 4 4n 8n 8n
F n
F n
F n
F n
YC 10 kN
2 kN/m
m m m
E
X B 11 X X =5 C B= CC A B X C
B
YAY =4 A
4m 4m YB=14 YB
C
YB 14 kN
m
F
0
X C 5 kN
X 0
X B 11 kN
例
画出结构的剪力和弯矩图。
F=5 F 2 kN/m XX F
5
10
4 11
3
y d B
q C x
例 画出结构的弯矩图和扭矩图。
BC 段有弯矩。 AB 段有扭矩和弯矩。
A
z
L
a
qa2/ 2 T
qaL M
qa2/ 2
y d B a
P1 C P2 x
例
画出结构的内力图。
A
P1 在 BC 段引起剪力和弯矩。
z
L
P1 在 AB 段引起扭矩、剪力和弯矩。
P2 在 BC 段引起剪力和弯矩。 P2 在 AB 段引起轴力和弯矩。
它形式的荷载（例如分布力偶矩）时，应根据微元区段平衡的方法重 新建立微分方程。新建立的方程可能与一般梁的平衡微分方程（弯矩
的导数是剪力、剪力的导数是分布荷载）不同。
◆ 画刚架内力图时，最好从左到右逐杆进行。在画某段的图形时， 原则上应将作用在本段左侧其它杆件的外荷载平移到左端点，将作用 在本段右侧其它杆件的外荷载平移到右端点。在熟练的情况下，一般
FL F L n F L n 1 2 4 n 2 2 n n 1 2
FL FL (n 2) FL (n 2) FL 4 4 8n(n 1) 8n(n 1)
C d D
A A C F1 D F2 B B L
画剪力图
4m 4m
2 kN/m
E XE=8 YF Y =10 F Y EE=4 X X = = 11 11 Y X X =5 =5 C BB CC A B
YA=4
4m 4m YB=14
4m 4m YD=0 YC=10
X 0 Y 0
5
X E 8 kN YE 4 kN
5
X 0 Y 0
C 截面弯矩的极值
dM C 1 37 8 0 dx 10
37 C 8
C d D
A F1 RA F2 L RB B
M Cmax
D 截面弯矩
1369 8.56 kN m 160
M D RA ( d ) F1d
1 27 33 4 2 10 33 D 8 M Dmax 1521 9.51 kN m 160
03 杆件两端作用有大小相等、方向相反的力偶矩，则杆件必 定产生扭转。
对 错
04 竖直方向上的杆件上端固定，下端有竖直向下的力作用，
杆件内的轴力必定是竖直向上的。 05
对 错
杆件两端作用有大小相等、方向相反的力，当杆件平衡时，
对 错
只可能产生拉伸或压缩的变形效应。
06 梁横截面上的剪力，在数值上等于作用在此截面右侧梁上 所有横向力的代数和。
D 截面弯矩的极值
dM D 1 33 8 0 d 10
故当左轮移动到距左端 4.13m 时 D 截面弯矩为梁中最大弯矩
M max 9.51 kN m
C d D D A A C F1 F 2
RA
F1 1 kN F2 3 kN
B B L RB
L 10 m d 1 m
FN P1
P2
T
P1a
P1
P2 a P2 FS P1 L M P1a P2 a
q0 L / 4 A L/ 2 L/ 2 5q0 L / 24
q0
例 求图示梁弯矩的极值。
B
先求支反力：
q0 L / 24
1 R A q0 L 24
1
荷载函数
1 q( x ) q0 L x 0 24
1
2 q0 L x L 2
3
弯矩极值必定出现在剪力为零处。 弯矩极值必定出现在区间 ( L/2，L ) 内。
q0 1 L q0 L x 24 L 2 M max
最大剪力
q
A DD DD C C DD a L MC MD
例
B
a
图示承受均布荷载的梁中，
两支座可以在水平方向上移动。
两支座移动到什么位置上才能使 梁中的弯矩绝对值为最小？ 两支座必须对称移动，才能
使梁中的弯矩绝对值为最小。
考虑当 a 增大时梁中的弯矩。弯矩的峰值出现在 C、D
截面。C 截面弯矩为
1 1 1 1 1 M C qL L a q L qLL 4a 2 2 2 2 8
A
L L n 1 n 1 L L n 1 n 1
B L
例 如图，简支梁上等距地作用 着 n 个大小相等的集中力，总荷 载为 F，求梁中的最大弯矩。
显然最大弯矩在中截面。
FA= F/2
FB= F/2
当 n 为奇数时，中截面左端有 n 2 个集中力作用
M max
FL F L L F L 2L F L Ln/ 2 4 n 2 n 1 n 2 n 1 n 2 n 1
梁中剪力图呈如图形状， 其中三个剪力数值
FSAC
1 37 4 10
FSCD
1 27 4 10
FSCB
1 3 4 10
由于剪力均为 x 的线 性函数，故剪力极值必定 出现在 的两个端点 故当右轮移动靠近右 端时 CD 区段剪力为梁中
FSCD max FSCD 0 2.7 FSAB max FSAB 0 3.7 FSDB max FSDB 9 3.9 FS max 3.9 kN
A
L L n 1 n 1 L L n 1 n 1
B L
例 如图，简支梁上等距地作用 着 n 个大小相等的集中力，总荷 载为 F，求梁中的最大弯矩。
显然最大弯矩在中截面。
FA= F/2
FB= F/2
当 n 为奇数时，中截面左端有 (n 1) 2 个集中力作用
M max
FL F L L F L 2L F L L (n 1) / 2 4 n 2 n 1 n 2 n 1 n2 n 1
零。
对
错
16 某个梁分别承受 A、B 两组荷载，A 组荷载只比 B 组荷 载多一个集中的力偶矩。由于画剪力图时，集中力偶矩不影
响剪力，因此，对应于这两组荷载的剪力图是完全一样的。
对 错
典 型 习 题 解 答
例 画出结构的弯矩图。
F
a a/ 2 a/ 2
1 2 Fa 2
1 2 Fa 4
F
F n
F n
F1 1 kN F2 3 kN
例 最大剪力。
L 10 m d 1 m
求图示结构中梁的最大弯矩和
梁中弯矩图呈如图形状，故弯
RA RB
矩极大值出现在 C 截面或 D 截面。
设 C 截面到 A 端距离为 ， 可得 A 端支反力
L L d 1 RA F1 F2 37 4 L L 10 1 2 M R 37 4 故有 C 截面弯矩 C A 10
对 错
11 在梁中剪力为常数的区段弯矩图必定为斜直线。
对 错
12 在梁中弯矩图为二次抛物线的区段剪力图必定为斜直线。
对 错
13 在梁中弯矩图为零的区段上剪力必定为零。
对
错
14 在梁中作用有向下的均布荷载（即 q 为负值）的区段上，
剪力也为负值。
对 错
15 在梁的某截面上弯矩图的斜率为零，则该截面上剪力为
对 错
07 简支梁或悬臂梁上只有一个横向集中力 F 的作用时，梁中 的最大剪力不会超过 F。
对 错
08 梁的最大弯矩值只会出现在剪力为零的截面处。
对 错
09 在简支梁上有一集中力由左端移到右端，当作用点位于梁 的中点时所引起的弯矩最大。
对 错
10 在简支梁上有一集中力由左端移到右端，当作用点位于梁 的中点时所引起的剪力最大。
FL F L n 1 F L n 1 1 2 4 n 2 2 n n 1 2 FL (n 1) FL (n 1) FL (n 1) FL 4 4n 8n 8n
F n
F n
F n
F n
◆ 梁的平衡微分方程的主要用途之一就是直接根据外荷载画剪力弯 矩图，它在画图中的主要功能是明确图线的走向。与此同时，集中力 和集中力偶矩对剪力弯矩图的影响也应熟练掌握。 ◆ 应充分重视图形特征（对称结构）和约束特征对剪力弯矩图的影
响，以提高画图的速度。 ◆ 梁的平衡微分方程是在只考虑横向分布力时建立的。当存在着其
F n
F n
A
L L n 1 n 1 L L n 1 n 1
B L
例 如图，简支梁上等距地作用 着 n 个大小相等的集中力，总荷 载为 F，求梁中的最大弯矩。
显然最大弯矩在中截面。
FA= F/2
FB= F/2
当 n 为奇数时，中截面左端有 (n 1) 2 个集中力作用
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M max
FL F L L F L 2L F L L (n 1) / 2 4 n 2 n 1 n 2 n 1 n2 n 1
D 截面弯矩为
2
1 M D qa 2 2
0a L 2
q
A a D
B
C L a
1 M C qLL 4a 8
1 2 M D qa 2
考虑 C、D 截面弯矩关于
a 的数值变化 只有 C 截面弯矩与 D 截
M qL2 8 MC MD L 4 MD qL2 8 L 2 a
X F 5 kN YF 10 kN
4
8 3
10
11
例
画出结构的剪力和弯矩图。
2 kN/m XF=5 F
2 kN/m
E XE=8 YF=10 =4 X X = = 11 11 Y X =5 =5 C BB CC A BE X
4m 4m
画弯矩图
YA=4
5 8
4m 4m YB=14
4m 4m YD=0 YC=10 40 48.5 44 16 40
重 点 与 难 点
◆ 应透彻理解内力符号规定与外力的区别，尤其应熟练掌握轴力和
弯矩的正负规定。 ◆ 截面法是建立内力方程的最基本的方法，应熟练掌握。注意先将 未知内力设正，建立方程时，内力和外力在一起按理论力学的规则进 入方程。因此建立内力方程过程中事实上用了两套符号规定。 ◆ 但是在求某个指定截面的内力时，尽量用更简便的方法，不必通 过建立内力方程求解。 ◆ 计算梁横截面的内力时，应特别注意外力的方向与其引起的内力 符号的关系，以保证内力的正负号正确。 ◆ 正确地计算支座反力是绘制内力图的关键，应确保无误。利用平 衡方程求出支反力后，应进行校核。