弹性力学基本理论及平面问题的求解

》
z 0, zx xz 0, zy yz 0.
学》有 限 元
》
如：受内压的圆柱管道和长水平巷道等。
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平面应变问题特点
以任一横截面为 xy 面, 任一纵线为z轴,则
(1) z向尺寸远大于x、y向尺寸，且与z轴垂直的各个横
《 截面尺寸都相同。
《弹 性 土力 学 力与
(2) 由于受有平行于横截面（xy平面）且不沿z向变化的 外荷载，沿z向不受荷载，约束条件沿z向也不变。即，所 有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿z方向变化, 而只是x 、y 的函数。
学》有 限 元
由于对称性, 在z轴方向方不能任何位移和形变, 故有w = 0 、εz = 0. zx zy 0
》 由于对称性,应有 zx 0, zy 0.
又有剪应力互等定理有 xz 0, yz 0.
因此只有三个形变分量εx,εy,γxy .但一般
z 0, x , y与 xy 0
在P点的面力 分量.以沿着坐标轴正向为正;沿着坐
》 标轴负向为负. 它的量纲( dimension)是L-1MT-2.
2
4. 内力、平均应力和应力
（1）内力ΔF ：是物体本身内部不
同部分之间相互作用的力；
《
《弹 性 土力 学
（2）平均应力p：设作用在包含P点
某一个截面mn上的单元面积ΔA 上
的内力为ΔF ，则ΔF/ΔA 称为ΔA 上
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8 形变和正应变、剪应变的概念
《 （1）形变（应变）：形状的改变，它包含长度和角度的
《弹 性 土力 学
改变。 （2）正应变（线应变）： 各线段单位长度的伸缩。以伸
长为正；缩短为负。
力与 （3）剪应变（切应变）：各线段之间的直角的改变。
学》有 限 元
以弧度表示，直角变小为正；变大为负。 **正应变和剪应变的量纲都为一，即无量纲。
《弹 性 土力 学
的体力 分量.以沿着坐标轴正向为正;沿着坐标轴负 向为负. 它的量纲( dimension)是L-2MT-2.
力与 学》有 限 元
(2)面力分量(surface force components): 面力 f
在 x, y 和 z 轴上的投影, 分别记为 fx , f y , fz ,称为
》
ij
xx yx
xy yy
xz yz
xy
1 2
xy
zx zy zz
8
9 位移
《 指物体内任一点位置的移动。 它在 x, y and z 轴上的投
《弹 性 土力 学
影用 u, v and w, 来表示。它的符号是沿坐标轴正向为正， 沿坐标轴负向为负。位移的量纲是L。
力与
学》有 限 元
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平面应力问题
设有很薄的等厚度薄板, 只有板边上受有平行于板面并且
《
《弹 性
不沿厚度变化的面力或约束, 同时体力也平行于板面且不 沿厚度变化，则叫做平面应力.
土力 学 力与
学》有 限 元
》
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平面应力问题特点
假定薄板的厚度为δ. 以薄板的的中面为 x y面 ,
《 以垂直于中面的任一直线为 z 轴.
》
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2.2 弹性力学平面问题的直角坐标解答
两类平面问题
《
《弹 性 土力 学
• 平面应变问题 • 平面应力问题
力与
学》有 限 元
》
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平面应变问题
设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上
受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力或约束。同时,
《
《弹 性
体力也平行于横截面并且不沿长度变化。
土力 学 力与
《弹 性 （1）长、宽尺寸远大于厚度
土力 学 力与 学》有 限 元
（2）由于沿板边受有平行板面的面力，且沿厚均布，
体力平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面 z
上无外力作用，( z )z 0 ,
( zx ) z 0 ,
( zy ) z 0.
2
2
2
2
由于板很薄, 外力不沿厚度变化, 应力沿板的厚度 又是连续分布, 因此, 可以认为薄板所有的点都有
且垂直于该两面交线的剪应力是互等的(大小相等,
《Hale Waihona Puke Baidu
《弹 性
方向相反)。
土力 学 力与 学》有 限 元
例如, 以连接六面体前后两面中心的直线为ab矩轴, 列出力矩
平衡方程, 得
2
yz zx
y 2
2
zy yx
z 2
0
同样可以列出其余两个相似的方程, 简化
》 以后得
yz zy , zx xz , xy yx
力与 学》有 限 元
的平均应力； lim F p A0 A
（3）应力：如果假设内力分布连续，命 ΔA无 限减小并
》 趋向P点, 则ΔF/ΔA 将趋向一个极限 p:
3
5. 正应力(normal stress)和切应力(剪应力shear stress)的概念
正应力σ：应力在作用截面法线方向的分量；
《
这个应力符号的规定与材料力学的不同, 在材料力学中:
》 正应力的符号为拉为正, 压为负; 而剪应力为正面向下的为
正; 负面向上为正. 或用右手法则确定:右手姆指沿面的外法
线时,其余四个手指反时针为正, 顺时针为负.
5
《
《弹 性
土力 学
力与
学》有 限 元
弹性力学中正的剪应力
材料力学中正的剪应力
》
6
7 剪应力互等定理: 作用在两个互相垂直的面上并
《
《弹 性
正应力用σ表示. 它的下标表示作用方向.如σx 表示正应 力沿着 x 方向;剪应力用 τ表示, 它有两个下标, 例如τxy 表示 剪应力作用在垂直 x轴的平面上, 但沿着 y方向.
土力 学 力与 学》有 限 元
(2)应力的符号 如果一个截面的外法线沿着坐标轴的正方向, 这个面就称
为正面,这个面上的应力就以沿着坐标轴的正方向为正;沿着 坐标轴的负方向为负。
2. 面力：分布在物体表面的力，如压力和接触力
《
• 设P点在面积△S作用有面力△F, 则
《弹 性
土力 学 力与
lim F f v0 S
学》有 限 元
》
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3. 体力分量和面力分量
• (1)体力分量(body force components): 体力 f 在
《 x, y 和 z 轴上的投影, 分别记为 fx, fy, fz ,称为在P点
切应力τ：应力在作用截面切线方向的分量。
《弹 性 土力 学
6．正平行六面体应力：从物体中取出一个微小的正 平行六面体，它的棱边分别平行于三个坐标轴，长 度分别为dx, dy, dz.正平行六面体应力
力与
学》有 限 元
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ij
xx yx
xy yy
xz yz
zx zy zz
4
(1) 应力的表示