平面向量加法运算及其几何意义教学设计

《平面向量加法运算及其几何意义》教学设计

〖教学目标〗

（1）知识与技能：理解掌握向量加法运算，能够运用向量加法三角形法则和平行四边形

法则求任意两个向量的和向量；初步尝试用向量方法解决几何问题及实际问题；

（2）过程与方法：经历概念的形式过程，提高数学建设模能力；通过自主探究活动，体

验数学发现和创造的过程，提高概括、分析归纳，数学表达等基本数学思维能力；

（3）情态与价值：通过师生互动，生生互动的教学活动，形成学生的体验性认识，体会

成功的愉悦，提高学习数学的兴趣。形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。

〖教学重点、难点〗

教学重点：理解向量加法的意义，掌握向量加法三角形法则和平行四边形法则；

教学难点：向量加法概念的形成过程；

〖教学方法与教学手段〗

教学方法：启发探究式教学

教学手段：多媒体辅助教学

〖教学过程〗

一、设置情境、尝试探求

1．设置问题情境

今年夏天，我国某些地区洪灾泛滥，某城外有一条东西流向的大河，河两岸高筑堤坝，河

宽4km, 水深10km，当时河水流速为4km/h, 有一天，三名巡防队员在巡逻中发现正对岸堤

坝有一处决口，情急之下，三人跳上船以8km/h 的速度直向决口处驶去，同学们想一想，

如果船不改变方向，他们能否准确、及时到达出事地点？

2、学生自主探究与研讨

学生会直观猜测：不能及时准确及时到达（有了猜测就有探式的欲望）

V船

V

教师引导学生：能否运用你所学的知识进行说明；

V水

学生得出：船的实际速度应是船行驶速度和水的速度的合成。如图

教师小结：速度是一个看矢量，矢量的合成与数量相加不同，要同时考虑方向。

提问，根据已有知识你还能举出一些有关矢量合成的例子吗？

3、师生共同探究

学生举例：（1）位移的合成（2）力的合成；

（1）如图：某对象从A点经B点到C点，两次位移，的结果，与A点直接到C 点的位移结果相同。

（2）如图：表示橡皮条在两个力F1、F2的作用下，沿GE的方向伸长了EO，与力F的作用结果相同。

教师：两个既有大小又有方向的量的合成运算，物理上叫做矢量的合成，在数学上叫做向量的加法。

二、形成概念，归纳方法。

向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

1、提问：对于平面上任意两个向量，如何定义它们的加法？

同学们任意作出两个向量试一试。

2、学生自主探究

学生可能答案：

（1）共起点的两个向量相加，用平行四边形法则；

（2）首尾相接的两个向量相加，模仿位移的合成，作出和向量；

（3）任意两个向量相加，先平移到共点，再作出和向量；

（4）共线的两个向量相加（同向或反向）

3、交流、研讨、辩析

投影同学们的研究成果，引导学生对几种作图方法进行辩析，它们有什么共同和不同之处？如何理解“任意”？和向量的方向和大小有何变化？能否对作图过程进行语言表达。

4、归纳总结

在师生、生生的互动交流中，形成以下共识：

一、向量加法的定义

1、三角形法则：

已知非零向量a、ｂ.在平面内任取一点，作=a，=ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂ

a

a＋ｂｂ

ｂ

a

位移合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型

2平行四边形法则

以同一点O为起点的两个已知向量a、ｂ，为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线就是与的和。

力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。

对于零向量与任一向量我们规定：

提问：你能从向量加法的几何意义，说明规定的合理性吗？

思考：当在数轴表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？

a a

ｂｂ

a+b

a+b

探究：|+|与||+||的大小关系：

当向量与不共线时，|+|<||+||；一般的有：|+|≤||+|| 思考：、处于什么位置时，

（1）|+|=||+|| （2）|+|=||-||（或|+b|=||-||）

三、实践探索形成能力

1、探究：数的加法满足交换侓和结合侓，即对任意a、b有

a+b=b+a (a+b)+c= a+(b+c)

任意向量、的加法是否也满足交换侓和结合侓？

（1）让学生通过画图探索验证：+=+

（2）提问：你能否验证：

(+) +=+ (+)

小结：向量的加法满足交换律：+=+

向量的加法满足结合律：(+) +=+ (+)

2、练习P93

3、4题

3、例2：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图2.2-12所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h。

（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）；

（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）

（引导学生正确理解题意，把问题化归为向量的加法运算。注意规范学生的解题格式。）4、巩固作业

（1）P103习题2。2：第２，３，4（1）（2）（3）题

（2）选做题：在△ABC中，求证：

四、归纳小结：内化知识

通过本节课的学习，同学们谈谈自己体会最深刻的是什么？

1、向量加法的几何意义；

２、交换律和结合律；

３、注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号.