例题试求图示杆件横截面上的最大拉应力和最大压应力

Ⅱ.连接件的实用计算 连接件（螺栓、铆钉、键等）以及构件在与它们连接
处实际变形情况复杂。
螺栓连接（图a）中，螺栓主要受剪切及挤压（局部压 缩）。
F
键连接（图b）中，键主要受剪切及挤压。
工程计算中常按连接件和构件在连接处可能产生的破 坏情况，作一些简化的计算假设（例如认为螺栓和铆钉的 受剪面上切应力均匀分布）得出名义应力（nominal stress）, 然后与根据在相同或类似变形情况下的破坏试验结果所确 定的相应许用应力比较，从而进行强度计算。这就是所谓 工程实用计算法（engineering method of practical analysis）。
因工字钢Wy<<Wz ，故A截面是可能的危险截面。 D 截面上Mz 最大：
MzD=0.456 qa2 ， 且 MyD= 0.444 qa2，
故D 截面也是可能的危险面。为确定危险截面，需比较A截面 和D 截面上的最大弯曲正应力。
z
MyA
y
z
MzA
y
D1 z D2
y
( max) A
M yA Wy
M zA Wz
弯矩 弯曲正应力
由于水平外力F1
My(x)=F1 x
My z
Iy
由于竖直外力F2
Mz(x)=F2 (x-a)
M z y
Iz
这里弯矩的正负号系根据图b所示，由右手螺旋法则按它们的 矢量其指向是否与y轴和z轴的指向一致来确定的。在F1和F2共 同作用下x 截面上C 点处的正应力为
'' My z Mz y
(c)
定出中性轴的方向角q。
工程计算中对于实体截面的梁在斜弯曲情况下，通常不考 虑剪力引起的切应力。
思考:
对于图示悬臂梁， 试问：
1. 外力F2作用截面处梁的中性轴在什么方向？ 2. 在固定端处梁的中性轴又大致在什么方向？ 3. 在固定端和F2作用截面之间，梁的中性轴的方向是否随横截
面位置变化？ 4. 该梁自由端的挠度（大小和方向）如何计算？
例题8-1 图示20a号工字钢悬臂梁（图a）上的均布荷载 集度为q (N/ຫໍສະໝຸດ Baidu)，集中荷载为 F qa (N) 。试求梁的许可荷载
2 集度[q]。已知：a =1 m; 20a号工字钢：Wz=237×10-6 m3，
Wy=31.5×10-6 m3；钢的许用弯曲正应力[ ]=160 MPa。
x
x
解：
吊车立柱（图c）受偏心压缩， 发生弯压组合变形。
两个平面内的弯曲(图d)由于计算构件横截面上应力及横 截面位移时，需要把两个平面弯曲的效应加以组合，故归于 组合变形。
(d)
对于组合变形下的构件，在线性弹性范围内且小变形 的条件下，可应用叠加原理将各基本形式变形下的内力、 应力或位移进行叠加。
在具体计算中，究竟先按内力叠加（按矢量法则叠加） 再计算应力和位移，还是先计算各基本形式变形下的应力 或位移然后叠加，须视情况而定。
故有中性轴的方程：
My Iy
z0
Mz Iz
y0
0
中性轴与y轴的夹角q（图a）为
tanq z0 M z I y I y tan
y0 M y I z I z
其中 角为合成弯矩 M
M
2 y
M
2 z
与y的夹角。
tanq I y tan
Iz
这就表明，只要 Iy≠Iz ，中性轴的方向 就不与合成弯矩M的矢量重合，亦即合 成弯矩M 所在的纵向面不与中性轴垂直， 或者说，梁的弯曲方向不与合成弯矩M 所在的纵向面重合。正因为这样，通常 把这类弯曲称为斜弯曲（oblique bending）。
Iy
Iz
利用上式固然可求算x 截面上任意点处的弯曲正应力，但 对于图中所示那类横截面没有外棱角的梁，由于My 单独作用 下最大正应力的作用点和Mz 单独作用下最大正应力的作用点 不相重合，所以还不好判定在My和Mz共同作用下最大正应力 的作用点及其值。
注意到在F1 作用下x 截面绕中性轴y 转动，在F2 作用下x 截面绕中性轴z 转动,可见在F1和F2共同作用下，x 截面必定绕 通过y 轴与z 轴交点的另一个轴转动，这个轴就是梁在两个相 互垂直平面内同时弯曲时的中性轴，其上坐标为y，z的任意点 处弯曲正应力为零。
Ⅰ. 组合变形
§8-1 概 述
构件在荷载的作用下如发生两种或两种以上基本形式的
变形，且几种变形所对应的应力（和变形）属于同一数量级，
则构件的变形称为组合变形（combined deformation）。
烟囱（图a）有侧向 荷载（风荷，地震力）时 发生弯压组合变形。
齿轮传动轴（图b）发生弯曲与扭 转组合变形（两个相互垂直平面内的弯 曲加扭转）。
1. 将集中荷载F 沿梁的横截面的两个对称轴分解为
Fy
F
cos40o
qa 2
cos40o
0.383qa
(
)
Fz
F sin 40o
qa sin 40o 2
0.321qa
()
2. 作梁的计算简图（图b），并分别作水平弯曲和竖直弯曲 的弯矩图—My 图和Mz 图（图c ,d）。
3. 确定此梁的危险截面。 A截面上My最大，MyA=0.642 qa2,该截面上Mz虽不是最大，但
确定中性轴的方向后，作平行于 中性轴的两直线，分别与横截面的周 边相切，这两个切点（图a中的点D1， D2）就是该截面上拉应力和压应力为 最大的点。从而可分别计算水平和竖 直平面内弯曲时这两点的应力，然后 叠加。
对于如图c所示横截面具有 外棱角的梁，求任何横截面上 最大拉应力和最大压应力时， 可直接按两个平面弯曲判定这 些应力所在点的位置，而无需
§8-2 双对称截面梁在两个相互垂直平面内的弯曲
具有双对称截 面的梁，它在任何 一个纵向对称面内 弯曲时均为平面弯 曲。 故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向 外力作用时，在线性弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯 曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。
图示悬臂梁 x 截面上的弯矩和任意点C处的正应力为：
0.642q (12 ) 31.5106
0.266q (12 237106
)
(21.5103) q
( max)D
M yD Wy
M zD Wz
0.444q (12 31.5106
)
0.456q (12 ) 237106
(16.02 103) q
由于 ( ) max A ( ) max D ，可见A截面为危险截面。危险点在 A截面上的外棱角D1和D2处。