材料力学专题一梁的内力和内力图
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专题一 梁的内力和内力图
例1求图1(a)所示梁截面 A 、C 的剪力和弯矩。 解:1)求反力
kN 5=A F ,kN 4=B F
2)求A 左截面的内力,如图(a)所示。
0=∑i Y , 0=+左SA p F F ,kN 3-=左SA F
0=∑O M ,02=+⨯左A p M F , m kN 6⋅-=左A M
3)求A 右截面的内力,如图(b)所示。
0=∑i Y ,0=+--A SA p F F F 左,kN 2=左SA F
0=∑O M ,02=+⨯右A p M F , m kN 6⋅-=右A M
4)求C 左截面的内力,如图(c)所示。
0=∑i Y ,02=-⨯--左SC P A F q F F ,0=左SC F
0=∑O M ,01224=+⨯⨯+⨯-⨯左C A p M q F F ,=左C M m kN 4⋅-=
5)求C 右截面的内力,如图(d)所示。
0=∑i Y ,02=-⨯--右SC P A F q F F ,0235=--=右SC F 0=∑O M ,012241=++⨯⨯+⨯-⨯右C A p M M q F F ,=右C M m kN 6⋅-=
【小结】①求指定截面上的内力时,既可取梁的左段为脱离体,也可取右段为脱离体,
两者计算结果一致。一般取外力比较简单的一段进行分析。②在解题时,通常假设截面上把内力为正,若最后计算结果是正,则表示假设的内力方向(转向)与实际是相同的,否则是相反的。③该题也可以不画受力图,不写平衡方程而由前面的结论直接求得结果。
图 1
(a) (b)
(c) (d) (e)
例2试计算图2所示各梁指定截面(标有细线者)的剪力与弯矩。
解:(a)取A +截面左段研究,, 0SA A F F M ++
==
取C 截面左段研究,, 2
SC C Fl
F F M == 取B -截面左段研究, , SB B
F F M Fl ==
(b) 求A 、B 处约束反力
如图(d)所示,l M F F e B A /==
取A +截面左段研究,, e SA A A e M F F M M l
++=-=-=
取C 截面左段研究,
, 22e e SC A A e A M M
l F F M M F l +=-=-=-⨯=
取B 截面右段研究,, 0e
SB B B M F F M l
=-=-= (c) 求A 、B 处约束反力 取A +截面右段研究,2
33, 22248
SA A l ql l l ql F q M q ++=⨯==-⨯⨯=-
取
C -截面右段研究,
2
, 22248
SC C l ql l l ql F q M q -
-=⨯==-⨯⨯=-
取C +截面右段研究,2
, 22248
SC C l ql l l ql F q M q +
+=⨯==-⨯⨯=-
取B -截面右段研究,0, 0SB B F M --==
图2 (b) (a) q
B (c) B
图(d)
例3试写出图3所示梁的内力方程,并画出剪力图和弯矩图。
解:(a ) 求支反力
0=∑C M : 0310126=⨯--⋅Ay F , kN 7=Ay F
0=∑Y :
010=-+By Ay F F , kN 3=By F
列内力方程,
⎩⎨
⎧<<-<<=63
kN 330 kN 7)(S x x x F , ⎩⎨⎧≤≤≤≤⋅-⋅-=63 30 m kN )6(3m kN 127)(x x x x x M 作剪力图和弯矩图。 (b ) 求支反力
0=∑B M :02212=⋅+-⋅l
ql ql l F Ay , F Ay =0 0=∑Y :0=-⋅-+ql l q F F By Ay ,ql F By 2=
列内力方程
23
0 )(S l x l l
x ql qx x F <<<≤⎩⎨
⎧-= ⎩
⎨
⎧≤≤≤≤---=23 0 )23(2
)(2l x l l x x l ql qx x M
作剪力图和弯矩图。
(b) 图3 (a)
(a) (b) (c)
图4
例4利用内力方程作图4(a)所示 简支梁的剪力图和弯矩图。 解:AC 段有:x x q 5)(=
25.210)(x x F S -=,
(0 510)(x x x M -=, (0≤x ≤2) 其剪力图和弯矩图如图(b)(c)所示。 由于结构是对称的,荷载也是对称的, BC 段与AC 段的F S 图是反对称的,M 图 是对称的,据此特点可方便地作出AC 段 的剪力图和弯矩图。 例5试用剪力、弯矩与荷载集度之间的微分关系判断图5所示各梁的内力图形态,画出剪力图和弯矩图。 解:(a ) 根据微分关系:()()x F x x M S d d = 和 ()()q x x M x x F ==22 S d d d d AC 段:q 为常数,且0 求得几处特殊截面的内力值后即可作出梁的剪力图与弯矩图。 (b ) 求支反力 0=∑A M : ()0221 322=⋅⋅-+⋅a q qa a F By , 3qa F By = 0=∑Y : 02=⋅-+a q F F By Ay , 35qa F Ay = (a) (b)q ,F S 图从左到右为向上的斜直线,M 图为向下凹的抛物线。 在C 截面处,F S 图连续,M 图光滑。