教育统计学第5讲概率与概率分布
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教育统计学 05 讲 概率与概率分布
引言
? 描述统计（统计图表，集中量数，离异量数，相关） ? 推论统计：从具体的研究资料出发推论一般的方法。从
样本出发来推断总体分布的过程就叫统计推断。如： ? 根据某学生几次考试情况，推论他真实学习成绩如何
； ? 根据一个班的测试结果，推论全年级学生某方面的心
理发展水平。 ? 推论统计的数学基础是概率论。它通过对样本数据的分
在对随机事件进行n次观测时，其中某一随机事件A出现了m次，则 m/n称为事件A出现的频率。随着试验次数的增加，事件A的频率将稳定 在某一常数p，则此常数p就是事件A出现概率的近似值，可表示为：
P ( A) ? m n
以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率值作为随机事件A的概率 估计值，这种求得的概率叫做后验概率。
P ( A) ? m n
先验概率是在特定条件下计算出来的，是随机事件的真实概率， 不是由频率估计出来的。当试验重复次数较多时，后验概率也就接 近先验概率。
一、概率及其基本性质与定理
二、概率的基本性质 ⑴ 任一随机事件 A的概率取值范围都在 0与1之间，即
0 ? P(A) ? 1 ⑵ 必然事件(是指在一定条件下必然发生的事件，记做
? 正态分布：正态分布也称常态分布或常态分配，是连续随机变量概率
分布的一种。最早由 棣·莫弗(De.Moivre)于1733年发现的，其后拉普拉 斯(Laplace)和高斯(Ganss)对正态分布的研究也做出了很大的贡献，故有 时称正态分布为高斯分布。
定义：对于连续随机变量X，如果它的分布密度函数如下， 则称随机变量X服从正态分布。
Ω)的概率等于 1，即 P(? ) ? 1
⑶ 不可能事件 (是指在一定条件下必然不发生的事件， 记做Φ)的概率等于 0，即 P(? ) ? 0
一、概率及其基本性质与定理
三、概率的加法定理 :
定理:两个互不相容事件A、B之和的概率，等于两个事件概率之 和。(所谓互不相容事件是指在一定试验中，若事件A发生， 则事件B就一定不发生) 。即:
析，在指出是什么或不是什么的同时，还用概率指出这 种可能性的大小。
内容提要
? 第一节 概率的基础知识
? 第二节 正态分布 ? 第三节 二项分布
一、概率及其基本性质与定理
一、概率的意义：
? 随机现象：又称随机事件，是指在一定条件下可能出现也可能不
出现的事件。
? 概率： 是表明随机事件出现可能性大小的客观指标。 ? 后验概率
一、概率及其基本性质与定理
一、概率的意义：
? 先验概率:
先验概率是通过 古典概率 模型加以定义的，故又称之古典概率。 古典概率要求满足两个条件 :①试验的所有可能结果 (即基本事件 )是 有限的；②每一种基本事件出现的可能性相等。如果基本事件的总 次数为n，事件A包括m个基本事件， 则事件A的概率为：
推论:有限个独立事件都同时发生的概率，等于这些概率的乘积。
即
P( A1 A2 ... An ) ? P ( A1 ).P( A2 )...P( An )
一、概率及其基本性质与定理
例：某专业研究生复试，让考生从 6个试题中任意抽取 一题进行口试，若抽到每 1题的概率为 1/6，前一考 生抽过的试题再放回，后一考生再抽，问 2个考生都 抽到试题 1的概率是多少？
? 标准分数（Ｚ分数）公式：Z=(X-μ)/σ
? 将原始分数Ｘ转换为Ｚ,即把所有绝对量数表示总体参数 μ和σ的正态分布函数，都变成了以平均数为0，标准差 为1的正态分布函数，这种平均数为0，标准差为1的正 态分布又叫标准正态分布。其分布函数为:
y?
1
z2 ?
e2
2?
标准正态分布曲线
一、正态分布和正态曲线的特征
离散分布：随机变量只取孤立的数值时，这种随机变量称之 离散型随机变量，离散随机变量的概率分布，简称离散分布。 常见的离散分布是二项分布。
连续分布：指连续随机变量的概率分布，也就是测量数据的 概率分布，它用连续随机变量的分布函数描述其分布规律。常 见的连续随机变量的分布为正态分布。
第二节 正态分布
一、正态分布和正态曲线的特征
例：掷骰子游戏中，两个骰子掷一次时，问掷得 11点 数的概率是多少？
例：某年级举行数学竞赛，其中有 10道四选一的选择 题，若一考生全凭随机猜测，则他猜对 10道题的概 率有多大？
二、概率分布的类型
概率分布: 是指对随机变量取值的概率分布情况用数学 方法（函数）进行描述。按照随机变量是否具有连续 性可将概率分布分为 离散分布和连续分布。
因正态曲线下每一横坐标所对应的面积与总面积之比， 其值等于该部分面积值，故正态曲线下的面积可视为概率，即 值为每一横坐标值（加减一定标准差）的随机变量出现的概率。
一、概率及其基本性质与定理
四、概率的乘法定理 :
定理：两个独立事件同时都发生的概率，等于这两个事件概率 的乘积。用公式表示:
P(AB) ? P(A) ?P(B)
所谓独立事件是指一个事件的出现对另一个事件的出现不 发生影响，如果事件A的概率随事件B是否出现而改变，事件B 的概率随事件A是否出现而改变，则这两个事件称为相关事件。 乘法定理也可推广到有限多个独立事件中，即:
Y?
1
?X ? ? ?2
e? 2? 2
? 2?
一、正态分布和正态曲线的特征
正态曲线：正态分布的图形称做正态曲线，形状为钟形曲线。
? 正态分布是一族分布。每个正态分布的μ，σ和N的不同,正态 曲线也就不同。
? 所有正态分布都可以通过Ｚ分数公式非常容易地转换为标准 正态分布。
一、正态分布和正态曲线的特征
P(A? B) ? P(A) ? P(B)
此定理可推广到有限多个互不相容事件中。
推论:
n
n
P( ? Ai ) ? ? P( Ai )
i?1
i?1
一、概率及其基本性质与定理
? 例：盒中共 20支粉笔，其中红粉笔 6支，黄粉笔 5支 ，绿粉笔 2支，白粉笔 7支。问任意摸得一支红色或 绿色粉笔的概率是多少？
⑴正态曲线在X=μ点取得最大值，即Y ? 1
2? ?
标准正态分布曲线在Z=0点取得最大值，即 Y ?
1
? 0.3989
2?
⑵正态曲线关于直线X=μ对称（Baidu Nhomakorabea对称的不一定是正态的），
即随机变量X在μ的对称区间上取值的概率相等。标准正态分
布关于直线Z=0对称。
⑶正态曲线下的面积为1，过平均数点的垂线将正态曲线下的面 积划分为相等的两部分，即各为0.50。
引言
? 描述统计（统计图表，集中量数，离异量数，相关） ? 推论统计：从具体的研究资料出发推论一般的方法。从
样本出发来推断总体分布的过程就叫统计推断。如： ? 根据某学生几次考试情况，推论他真实学习成绩如何
； ? 根据一个班的测试结果，推论全年级学生某方面的心
理发展水平。 ? 推论统计的数学基础是概率论。它通过对样本数据的分
在对随机事件进行n次观测时，其中某一随机事件A出现了m次，则 m/n称为事件A出现的频率。随着试验次数的增加，事件A的频率将稳定 在某一常数p，则此常数p就是事件A出现概率的近似值，可表示为：
P ( A) ? m n
以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率值作为随机事件A的概率 估计值，这种求得的概率叫做后验概率。
P ( A) ? m n
先验概率是在特定条件下计算出来的，是随机事件的真实概率， 不是由频率估计出来的。当试验重复次数较多时，后验概率也就接 近先验概率。
一、概率及其基本性质与定理
二、概率的基本性质 ⑴ 任一随机事件 A的概率取值范围都在 0与1之间，即
0 ? P(A) ? 1 ⑵ 必然事件(是指在一定条件下必然发生的事件，记做
? 正态分布：正态分布也称常态分布或常态分配，是连续随机变量概率
分布的一种。最早由 棣·莫弗(De.Moivre)于1733年发现的，其后拉普拉 斯(Laplace)和高斯(Ganss)对正态分布的研究也做出了很大的贡献，故有 时称正态分布为高斯分布。
定义：对于连续随机变量X，如果它的分布密度函数如下， 则称随机变量X服从正态分布。
Ω)的概率等于 1，即 P(? ) ? 1
⑶ 不可能事件 (是指在一定条件下必然不发生的事件， 记做Φ)的概率等于 0，即 P(? ) ? 0
一、概率及其基本性质与定理
三、概率的加法定理 :
定理:两个互不相容事件A、B之和的概率，等于两个事件概率之 和。(所谓互不相容事件是指在一定试验中，若事件A发生， 则事件B就一定不发生) 。即:
析，在指出是什么或不是什么的同时，还用概率指出这 种可能性的大小。
内容提要
? 第一节 概率的基础知识
? 第二节 正态分布 ? 第三节 二项分布
一、概率及其基本性质与定理
一、概率的意义：
? 随机现象：又称随机事件，是指在一定条件下可能出现也可能不
出现的事件。
? 概率： 是表明随机事件出现可能性大小的客观指标。 ? 后验概率
一、概率及其基本性质与定理
一、概率的意义：
? 先验概率:
先验概率是通过 古典概率 模型加以定义的，故又称之古典概率。 古典概率要求满足两个条件 :①试验的所有可能结果 (即基本事件 )是 有限的；②每一种基本事件出现的可能性相等。如果基本事件的总 次数为n，事件A包括m个基本事件， 则事件A的概率为：
推论:有限个独立事件都同时发生的概率，等于这些概率的乘积。
即
P( A1 A2 ... An ) ? P ( A1 ).P( A2 )...P( An )
一、概率及其基本性质与定理
例：某专业研究生复试，让考生从 6个试题中任意抽取 一题进行口试，若抽到每 1题的概率为 1/6，前一考 生抽过的试题再放回，后一考生再抽，问 2个考生都 抽到试题 1的概率是多少？
? 标准分数（Ｚ分数）公式：Z=(X-μ)/σ
? 将原始分数Ｘ转换为Ｚ,即把所有绝对量数表示总体参数 μ和σ的正态分布函数，都变成了以平均数为0，标准差 为1的正态分布函数，这种平均数为0，标准差为1的正 态分布又叫标准正态分布。其分布函数为:
y?
1
z2 ?
e2
2?
标准正态分布曲线
一、正态分布和正态曲线的特征
离散分布：随机变量只取孤立的数值时，这种随机变量称之 离散型随机变量，离散随机变量的概率分布，简称离散分布。 常见的离散分布是二项分布。
连续分布：指连续随机变量的概率分布，也就是测量数据的 概率分布，它用连续随机变量的分布函数描述其分布规律。常 见的连续随机变量的分布为正态分布。
第二节 正态分布
一、正态分布和正态曲线的特征
例：掷骰子游戏中，两个骰子掷一次时，问掷得 11点 数的概率是多少？
例：某年级举行数学竞赛，其中有 10道四选一的选择 题，若一考生全凭随机猜测，则他猜对 10道题的概 率有多大？
二、概率分布的类型
概率分布: 是指对随机变量取值的概率分布情况用数学 方法（函数）进行描述。按照随机变量是否具有连续 性可将概率分布分为 离散分布和连续分布。
因正态曲线下每一横坐标所对应的面积与总面积之比， 其值等于该部分面积值，故正态曲线下的面积可视为概率，即 值为每一横坐标值（加减一定标准差）的随机变量出现的概率。
一、概率及其基本性质与定理
四、概率的乘法定理 :
定理：两个独立事件同时都发生的概率，等于这两个事件概率 的乘积。用公式表示:
P(AB) ? P(A) ?P(B)
所谓独立事件是指一个事件的出现对另一个事件的出现不 发生影响，如果事件A的概率随事件B是否出现而改变，事件B 的概率随事件A是否出现而改变，则这两个事件称为相关事件。 乘法定理也可推广到有限多个独立事件中，即:
Y?
1
?X ? ? ?2
e? 2? 2
? 2?
一、正态分布和正态曲线的特征
正态曲线：正态分布的图形称做正态曲线，形状为钟形曲线。
? 正态分布是一族分布。每个正态分布的μ，σ和N的不同,正态 曲线也就不同。
? 所有正态分布都可以通过Ｚ分数公式非常容易地转换为标准 正态分布。
一、正态分布和正态曲线的特征
P(A? B) ? P(A) ? P(B)
此定理可推广到有限多个互不相容事件中。
推论:
n
n
P( ? Ai ) ? ? P( Ai )
i?1
i?1
一、概率及其基本性质与定理
? 例：盒中共 20支粉笔，其中红粉笔 6支，黄粉笔 5支 ，绿粉笔 2支，白粉笔 7支。问任意摸得一支红色或 绿色粉笔的概率是多少？
⑴正态曲线在X=μ点取得最大值，即Y ? 1
2? ?
标准正态分布曲线在Z=0点取得最大值，即 Y ?
1
? 0.3989
2?
⑵正态曲线关于直线X=μ对称（Baidu Nhomakorabea对称的不一定是正态的），
即随机变量X在μ的对称区间上取值的概率相等。标准正态分
布关于直线Z=0对称。
⑶正态曲线下的面积为1，过平均数点的垂线将正态曲线下的面 积划分为相等的两部分，即各为0.50。