运动稳定性与非线性振动作业含答案

Ch2 单自由度保守系统自由振动

1、确定下保守系统或耗散系统的奇点和它的类型，绘出相轨线并指出其分界线

1）03=+-x x x

2）03=++x x x

3）023=+++x x x μx

4）023=-++x x x μx

解：各系统的相轨迹图如下所示:

1） 相轨迹线如图1。系统有三个奇点，其中，相点（-1，

0）和（1，0）为中心，相点（0，0）为鞍点，通过鞍点（0，0）的相轨迹线为分界线。

2） 相轨迹线如图2。系统有一个奇点（0，0），其类型

为中心。

图1

分界线

图2或（图3 μ= 0）

3）当0

μ=时，系统有一个奇点（0，0），其类型为中心，相轨迹线如图3（和图2一样）；

当0

μ<时，系统有一个奇点（0，0），其类型为不稳定焦点，相轨迹线如图4；

当0

μ>时，系统有一个奇点（0，0），其类型为稳定焦点或结点，相轨迹线如图5。

图4 μ= -0.3

图5 μ=0.3

4）当0

μ<时，系统有一个奇点（0，0），其类型为不稳定焦点，相轨迹线如图6；

当0

μ>时，系统有一个奇点（0，0），其类型为稳定焦点或结点，相轨迹线如图7。

当0

μ=时，系统有一个奇点（0，0），其类型为中心，相轨迹线如图8；

图6 μ= -0.05

图7 μ=0.6

图8 μ= 0

2、数学摆，摆长为l ，摆锤质量为m ，不计摩擦，其运动

方程为0θsin l

g θ=+

，试求出势能函数U (θ)，并在相平面上画出相轨线。

解：将运动方程化为状态变量形式

sin g l

θωωθ==-⎧⎪

⎨⎪⎩ 其相轨迹微分方程为:sin g

d l

d θωθω

=-

势能函数U (θ)()

sin 1cos 0g g d l

l

θθθθ==-⎰。

相轨迹线图见图9。

3、如图，弹簧原长为l 0，刚度系数为k ，物体沿光滑水平面运动，当物体在平衡位置时，弹簧预张力为S 0，设x (0)=x 0=10mm ，

s /m m 1.00=x

，l 0=50mm ，S 0=10kN ，

m =0.1kg ，k =500N/m 。列出运动微分方程，转化为无量纲形式，用相平面法作出物体的振动解。

图9 相轨迹线图

解：运动微分方程为：0020S mx k l k ⎛++

=

⎝

转化为无量纲形式：

(

25

0.25 1.995100x

+

⨯=

0-2s 内物体振动的相轨迹如图10。

物体从相点（0.01，0.0001）出发，沿半径不断减小 的近似圆轨迹逆时针运动，逐渐趋于相点（0，0）。

Ch3 李亚普诺夫运动稳定性理论

1、求如下微分方程的一组特解，并建立扰动方程

图10 相轨迹线图

⎩⎨⎧-++=-++-=)1x x (x x x

)1x x (x x x 2

221212222

1111 解：设

1cos x r θ

=，

2sin x r θ

=，则1c o s s i n x r r θθθ=-，

2sin cos x r r θθθ

=+

将以上各式代入微分方程，得到:

()()22

cos sin cos cos 1sin cos cos sin 1r r r r r r r r r r θθθθθθθθθθ⎧-=-+-⎪

⎨+=+-⎪⎩

即()()3

1sin 2cos 2321

sin 2cos 212

r r r θθθθθ⎧=+--⎪⎪⎨⎪=++

⎪⎩ 微分方程的一组特解为：

S r =

S θ=

引入受扰运动与未扰运动的差值作为新变量， 即S r r ρ=-，S ϕθθ=-，则扰动方程为：

()()3

1sin 2cos 232

1sin 2cos 212

ρρρϕϕϕϕϕ⎧=+--⎪⎪⎨

⎪=++⎪⎩ 2、用V 函效法确定下系统原点的稳定性

⎩

⎨⎧--=+=3

3

22x x y y y x 解：选择正定的李雅普诺夫函数()4242,V x y x x y y =+++

(),V V

V x y x y x y

∂∂=

+∂∂()()()()33334224220x x y y y y x x =++-++=

由于V 沿解曲线的全导数为零，根据李雅普诺夫直接方法，系统的原点稳定。

3、判别如下方程组零解的稳定性

⎪⎩⎪

⎨⎧--=-+=--=z

y x z

z y x y z y x x

353 解：将线性方程组写为矩阵形式：

111113153x x y y z z --⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎪⎪

⎢⎥=-⋅⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥--⎩⎭⎣⎦⎩⎭

，其特征方程为： 1

111

1

3

01

5

3

E A λλλλ--=--=-+，即3218120λλλ+-+=

求得特征值的实部分别为: -5.0420 ; 0.7154 ; 3.3266。 由于有两个特征值的实部为正，线性方程组的零解不稳定。

4、按一次近似理论判别如下方程组零解的稳定性

⎩⎨⎧--==--2

2)1(1

y x y

-e x y x 解：原方程组的一次近似方程为：

⎩⎨⎧-=--=x y

2x y x ，化为矩阵形式：1210x x y y --⎧⎫⎡⎤⎧⎫

=⋅⎨⎬⎨⎬⎢⎥-⎩⎭⎣⎦⎩⎭