第三章量子力学初步

px p sin h / x
x px h
减小缝宽 △x, x 确定的越准确 px的不确定度, 即△px越大
粒子的波动性
不确定关系
例 原子的线度约为 10-10 m ，求原子中电子速度的不确定量。
解 原子中电子的位置不确定量 10-10 m，由不确定关系
x px 2
电子速度的不确定量为
v x
V ]
dT dt
(r ,
t
E
)
(r
)T
(t
)
T (t
()r) eT0i Eet /iE t
/
E
说明
[ 2 2 2m
V (r )] (r )
E (r )
——定态薛定谔方程
(1) 定态中E 不随时间变化，粒子有确定的能量。
(2)定态时，概率密度在空间上的分布稳定
Ψ
*
(
r
,
t
)Ψ
(r , t)
对
t
求一次偏导
i
t
ei
(
0
pr Et)
E
E
2 2 p 2
自由粒子:
E 1 mv 2 p2 E p2
2
2m
2m
2 2 i
2m
t
二. 薛定谔方程(1926年)
E p2 V 2m
EΨ p2 Ψ VΨ 2m
2 2 i
2m
t
2 2Ψ VΨ i Ψ
2m
t
质量 m 的粒子在外力场中运动，势能函
数 V ( r,t )，薛定谔方程为
2 2m
2
V
(r ,
t
)Ψ
(r ,
t
)
i
Ψ (r ,
t
t
)
—— 薛定谔方程
The Nobel Prize in Physics 1933
• 描述低速，在外力场中运动的微观粒子的微分方程 （即对应的波函数满足的微分方程）
• 薛定谔方程是量子力学中的基本方程，不可能由更基本的原理推导。
c2mv p mc2
vp
xp t
Et xp
Et
2
2
2. 能量 — 时间不确定关系
Et
2
E E 2
E E 2
反映了原子能级宽度E 和原子在该
能级的平均寿命 t 之间的关系。
基态
平均寿命
t ∞
寿命 t E
光辐射 基态
能级宽度
E 0
激发态 平均寿命
能级宽度
t ~ 10-8 s
E ~ 3.3108 eV 2t
例：氦氖激光器所发红光波长 = 632.8 nm, 谱线宽度 = 10-9 nm
求：当这种光子沿 x 方向传播时，它的坐标不确定度(波列长度) 。
解：
px
h
px
h 2
x
2
4105 m
px 2π
例 子弹（m = 0.10 g ,v = 200 m/s）穿过 0.2 cm 宽的狭缝。
求 沿缝方向子弹的速度不确定量。
*
(
r
)
e
i
E
t
(
r
)e
i
E
t
*
(r
)
(r )
代表力学量的算符
由于微观粒子具有波粒二象性，微观粒子的状态需要用波函数来描 述。微观粒子的力学量用算符描述。
算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。 Fˆf g
如 f 2x x2 若 Fˆ x 则: Fˆf 2 x 2 x3
§3.2 薛定谔波动方程
一. 自由粒子波动方程
对 x 求二次偏导
x
0e
i
(
pr Et)
i
px
e i
(
p
Biblioteka Baidu
r
E
t
)
0
2
2x
0e
i
(
pr Et)
(
i
px )2
p
2 x
2
同理对 y，z 求二次偏导得
2
2y
p
2 y
2
2
2z
p
2 z
2
Laplace 算符
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
一个量确定的越准确，另一个量的不确定程度就越大。
下面借助电子单缝衍射试验加以说明。
p h / x sin
x
电 子 束
△x
px
大部分 电子落在中
央明纹
电子经过狭缝，其坐标 x 的不确定量为 △x ；
p h / x sin
x
电 子 束
△x
p
p
p0
0
电子经过狭缝，其坐标 x 的不确定量为x ；动量分量 px的不 确定量为
De Broglie W Heisenberg E Schroedinger PAM Dirac
§3.1 Heisenberg不确定关系
1. 动量 — 坐标不确定关系 微观粒子的位置坐标 x、动量 分量 px不能同时具有确定的值。
x、px分别是 x、 px 的不确定量，其乘积
x px 2
A (A A)2
E E
h
h
辐射光谱线固有宽度
谱线的自然线宽是没有任何办法能消除的，实际上， 能级寿命有时受到外界条件影响，如气体原子间碰撞， 碰撞使得激发态原子损失激发能，激发态寿命缩短， 依据不确定关系，激发态能级宽度就变大，因此谱线 的实际宽度常常大于自然线宽。为了减少碰撞，光谱 研究中往往将光源处于低气压状态。
解 x 2 103 m
x px 2
子弹速度的不确定量为
v x
px m
2mx
6.63 10 34 4 3.14 0.1103 2 103
2.64 1028 m s v x
由不确定关系，求一维谐振子基态能量
解，能量, E p2 1 m 2 x2 ,设x a, p / 2a
px m
2mx
6.63 1034 4 3.14 9.11031 1010
说明 5.8 105 m s ~ vx
基态氢原子中电子能量13.6eV，速率约为 106 m/s。速率不
确定量与速率本身的数量级基本相同，因此原子中电子的位
置和速度不能同时完全确定，也没有确定的轨道。
思考：如果电子在10－14米的核内，电子的能量有多大？
第三章 量子力学初步
发展简介
❖ 1900年，普朗克，黑体辐射，辐射能量量子化 ❖ 1905年，爱因斯坦，光电效应，光量子 ❖ 1913年，玻尔，氢原子光谱，量子态 ❖ 1924年，德布罗意，物质波假说 ❖ 1925年，海森堡、玻恩、约旦，狄拉克 矩阵力学 ❖ 1926年，薛定谔 波动力学 ❖ 1927年，海森堡 不确定关系
2m 2
束缚态，x p 0, x2 (x x)2 x2 a2
p2 ( p p)2 p2 2 / 4a2，代入E式
E
2 8ma2
1 m 2a2 , dE
2
da
0 a2
,E
2m
/ 2
2. 能量与时间的不确定性关系
E c2 p2 m2c4 E
c2 pp
c2 p2 m2c4
定态、定态波函数、定态薛定谔方程
2 2m
2Ψ
VΨ
i
Ψ t
粒子在稳定力场中运动，势能函数 V (r) 、能量 E 不随时间
变化，粒子处于定态。定态下，用分离变量可将波函数写为 Ψ (r , t) (r )T (t)
薛定谔方程
两边除以T i T
定态波函数写为 Ψ
i T
dT dt
1
[ 2 2 2m