立体几何垂直证明题常见模型及方法2018.10

垂直证明题常见模型及方法

证明空间线面垂直需注意以下几点：

①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。 ③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。

垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直；

类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）

（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型）

○1 等腰（等边）三角形中的中线 ○2 菱形（正方形）的对角线互相垂直 ○3勾股定理中的三角形 ○4 1:1:2 的直角梯形中 ○5 利用相似或全等证明直角。

例1：在正方体1111ABCD A BC D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1AO OE ⊥

（2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图）

例2、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，已知

60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．

证明：AD PB ⊥；

变式1、如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠P AC =∠PBC =90 º证明：AB ⊥PC

变式2、三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C .

证明：B 1C ⊥AB ；

变式1：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90︒.E 为BB 1的中点，D

点在AB 上且DE = 3 .求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；

变式2：：已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .

(1)证明：AB ⊥平面ODE ；

E

○

2 利用面面垂直的性质定理 （方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。） 例3：在三棱锥P-ABC 中，PA ABC ⊥底面,PAC PBC ⊥面面，BC PAC ⊥求证：面。

变式1, 在四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，侧面PAB 是等腰三角形，且

PAB ABCD ⊥面底面,求证：BC PAB ⊥面

变式2在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：

（1）P A ⊥底面ABCD ；(2)BE ∥平面P AD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD .

类型三、面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)

例1 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，

变式1已知直四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′的底面是菱形，，

E 、

F 分别是棱CC ′与BB ′上的点，且EC=BC =2FB =2． （1）求证：平面AEF ⊥平面AA ′C ′C ；

类型四、探索性问题

1、在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝1，AD＝3，AB⊥BC，CD⊥BD，如图(1)．把△ABD 沿BD翻折，使得平面A′BD⊥平面BCD，

如图(2)．

(1)求证：CD⊥A′B；

(2)求三棱锥A′-BDC的体积；

(3)在线段BC上是否存在点N，使得A′N⊥BD？若存在，请求出BN

BC的值；若不存在，请说明理由．

2、在边长为5的菱形ABCD中，AC＝8.现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦

值为9

25.

(1)求证：平面ABD⊥平面CBD；

(2)若M是AB的中点，求三棱锥A-MCD的体积．

3、如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．

(1)求证：DE∥平面A1CB.

(2)求证：A1F⊥BE.

(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．