第九章 B-s期权定价模型上课讲义

利组合时加入的一个单位衍生证券空头的现值，风险中性
条件下的贴现值。
由于该头寸是空头，所以符号为负，可以理解为组合
中的负债价值。
N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，即是欧式
看涨期权被执行的概率；
XN(d2 )是执行价格乘以行权的概率，是概率折扣后
到期行权获得的价值，是T时刻的终值；
e-r(T-t)XN(d2)是上面终值X风险中性期望值的现值，
为了消除Δz，我们可以构建一个包括一
单位衍生证券空头和 f 单位标的证券多
头的组合。
S
令Π代表该投资组合的价值，则：
f
f s
S(3)
在t时间后 ,该投资组合的价值为 变：
f f S(4) s
将式(1)和(2)代入(4),可得:
ft1 2S2f22S2t (5)
4、无套利定价 由于式(5)中不含有Δz，该组合的价值在
在风险中性条件下，所有现金流量都可 以通过无风险利率进行贴现求得现值。 这就是风险中性定价原理。
应该注意的是，风险中性假定仅仅是为了 求解布莱克——斯科尔斯微分方程而作出 的人为假定。
但通过这种假定所获得的结论不仅适用于 投资考风险中性情况，也适用于投资者厌 恶风险的所有情况。
二、布莱克——斯科尔斯期权定价公式
当然，推导布莱克——斯科尔斯微分方程并不 要求调整标的证券的数量，因为它只关心Δt中 的变化。
(2)风险中性定价原理 从式(7)可以看出，衍生证券的价值决定
公式中出现的变量为标的证券当前市价 (S)、时间(t)、证券价格的波动率(σ)和 无风险利率r，它们全都是客观变量，独 立于主观变量——风险收益偏好。
(三)布莱克——斯科尔斯微分方程的推导
1、基础证券的运动模型： 由于假设证券价格S遵循几何布朗运动，因
此有： dS＝μSdt十σSdz
其在一个小的时间间隔Δt中，S的变化值 ΔS为： ΔS=μSΔt+σSΔz……（1）
2、衍生工具的运动模型：
假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的 函数，由伊藤引理可得：
价。
(ft 12S2f22S2)t r(f Sf S)t
f t
rSSf 122S2
2f S2
rf7
6、注意
(1)组合的风险性
当S和t变化时，
f S
的值也会变化，因此上述投
资组合的价值并不是永远无风险的，它只是在
一个很短的时间间隔Δt中才是无风险的。
在一个较长时间中，要保持该投资组合无风险 ，必须根据t的变化而相应调整标的证券的数 量。
c e r(T t)E ˆ[m S T X a) x ] (8 ()
在风险中性条件下，我们可以用r取代下式中的μ
ln ST~[lSn (2 2)T (t), Tt)]
ln
ST
~
[ln
S
(r
2
2
)(
T
t ),
T t ] (9)
对上式右边求值是一种 积分过程 ,结果为 :
c SN (d1 ) Xe N r (T t ) (d 2 ) (10 ) 其中 :
d1
ln(
S
/
X
)
(r 2 T t
/ 2)(T
Baidu Nhomakorabea
t)
d2
ln(
S
/
X
)
(r T
2
t
/
2 )( T
t)
d1
T t
N(x)为标准正态分布变量的累计概率分布 函数(即这个变量小于x的概率)。
根据标准正态分布函数特性，有：
N(—x)＝1—N(x)。
对B-S公式理解：
（1）上式右边的第二项- e-r(T-t)XN(d2)，是构建无套
在无套利机会的情况下，该投资组合在短期内的收益率一 定等于无风险利率。
（二）布莱克—斯科尔斯微分方程的假设
1．证券价格遵循几何布朗运动，即μ和σ为常数 ；
2．允许卖空标的证券； 3．没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分
的； 4．在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支
付； 5．不存在无风险套利机会； 6．证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 7．在衍生证券有效期内,无风险利率r为常数。
第九章 B-s期权定价模型
一、布莱克——斯科尔斯微分方程
（一）思路：
由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确定性 (dz)影响，若匹配适当，这种不确定性就可以相互抵消。
布莱克和斯科尔斯建立一个包括一单位衍生证券若干单位 标的证券多头的投资组合。
若数量适当，标的证券多头盈利(或亏损)总是会与衍生证券 空头的亏损(或盈利)相抵消，因此在短时间内该投资组合是 无风险的。
1973年，布莱克和斯科尔斯成功地求解了他们的 微分方程，从而获得了欧式看涨期权和看跌期权 的精确公式。
在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时(T 时刻)的期望值为：
E ˆ[mS a T xX (,0)]
其中， E表示风险中性条件下的期
望值。根据风险中性定价原理，欧 式看涨期权的价格c等于将此期望值 按无风险利率进行贴现后的现值， 即：
它构成当前期权价格的一部分；
（2）上式右边的第一项SN(d1)，是构建无套利组合时加 入的若干个单位的标的证券的多头的现值。由于该头寸是 多头，所以符号为正，可以理解为组合中的资产价值。无 套利资产组合中必然同时存在多头和空头，否则风险无法 对冲。
一个小时间间隔Δt后必定没有风险。 因此该组合在Δt中的瞬时收益率一定等
于Δt中的无风险收益率。
否则的话，套利者就可以通过套利获得 无风险收益率。
因此，在没有套利机会的条件下：
ΔΠ＝rΠΔt……（6） 把式(3)和(5)代入（6）得:
5、这就是著名的布菜克——斯科尔斯微分分程, 它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定
而受制于主观的风险收益偏好的标的证 券预期收益率μ并未包括在衍生证券的价 值决定公式中。
这意味着，无论风险收益偏好状态如何 ，都不会对f的值产生影响。
在对衍生证券定价时，所有投资者都是 风险中性的。
在所有投资者都是风险中性的条件下， 所有证券的预期收益率都可以等于无风 险利率r，这是因为风险中性的投资者并 不需要额外负担外的收益来吸引他们承 担风险。
df(Sf Sft 12S2f22S2)dtSf Sdz
在一个小的时t间 中间 ， f的 隔变化 f值 为:
f (Sf Sft 12S2f22S2)tSf Sz(2)
3、构建无风险组合：
从上面分析看出，(1)和(2)中的Δz相同 ，都等于 t 。
因此只要选择适当的衍生证券和标的证 券的组合就可以消除不确定性。