人教新课标版数学高一必修二教案 平面与平面平行的判定2.2.4平面与平面平行

长丰县实验高中2016 ~2017学年第一学期高二年级数学（文科）

集体备课教案

⑩应用面面平行的性质定理口诀是什么？

活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

问题①引导学生回忆两平面的位置关系.

问题②面面平行可转化为线面平行.

问题③借助模型锻炼学生的空间想象能力.

问题④引导学生进行语言转换.

问题⑤引导学生找出应用平面与平面平行的判定定理容易忽视哪个条件. 问题⑥引导学生画图探究，注意考虑问题的全面性.

问题⑦注意平行与异面的区别.

问题⑧引导学生进行语言转换.

问题⑨作辅助面.

问题⑩引导学生自己总结，把握面面平行的性质.

讨论结果：①如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β=∅,则α∥β.

如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β=AB,则α与β相交.

两平面平行与相交的图形表示如图1.

图1

②由两个平面平行的定义可知：其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行.这是因为在这些直线中，如果有一条直线和另一平面有公共点，这点也必是这两个平面的公共点，那么这两个平面就不可能平行了.

另一方面，若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行，否则，这两个平面有公共点，那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面.

由此将判定两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个

平面平行的问题，但事实上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一平面，到底要多少条直线（且直线与直线应具备什么位置关系）与另一面平行，才能判定两个平面平行呢？

③如图2,如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行，两个平面不一定平行.

图2

例如：AA′⊂平面AA′D′D,AA′∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′=DD′.

如图3,如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，两个平面也不一定平行.

图3

例如：AA′⊂平面AA′D′D,EF⊂平面AA′D′D,AA′∥平面DCC′D′,EF∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′=DD′.

如图4,如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面一定平行.

图4

例如：A′C′⊂平面A′B′C′D′,B′D′⊂平面A′B′C′D′,A′C′∥平面ABCD,B′D′∥平面ABCD;直线A′C′与直线B′D′相交.

可以判定,平面A′B′C′D′∥平面ABCD.

④两个平面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平

行.

以上是两个平面平行的文字语言，另外面面平行的判定定理的符号语言为：

若a⊂α，b⊂α，a∩b=A,且a∥α,b∥β，则α∥β.

图形语言为：如图5,

图5

⑤利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：

(Ⅰ)有两条直线平行于另一个平面;

(Ⅱ)这两条直线必须相交.

尤其是第二条学生容易忽视，应特别强调.

⑥如图6,借助长方体模型，我们看到，B′D′所在的平面A′C′与平面AC平行，所以B′D′与平面AC没有公共点.也就是说，B′D′与平面AC内的所有直线没有公共点.因此，直线B′D′与平面AC内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线.

图6

⑦直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

因为，直线B′D′与平面AC内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线，只要过B′D′作平面BDD′B′与平面AC相交于直线BD，那么直线B′D′与直线BD平行.

如图7.

图7

⑧两个平面平行的性质定理用文字语言表示为：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

两个平面平行的性质定理用符号语言表示为：⇒

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

=

⋂

=

⋂

b

a

γ

β

γ

α

β

α//

a∥b.

两个平面平行的性质定理用图形语言表示为：如图8.

图8

⑨应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面.

⑩应用线面平行性质定理的口诀：“见到面面平行，先过某些直线作两个平面的交线.”

应用示例

例 1 已知正方体ABCD—A1B1C1D1，如图9,求证：平面AB1D1∥平面BDC1.

图9

活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视学生的解答，发现问题及时纠正,并及时评价.

证明：∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，

∴D1C1∥A1B1,D1C1=A1B1.

又∵AB∥A1B1,AB=A1B1,

∴D1C1∥AB,D1C1=AB.

∴四边形ABC1D1为平行四边形.

∴AD1∥BC1.

又AD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，

∴BC1∥平面AB1D1.

同理，BD∥平面AB1D1.

又BD∩BC1=B，∴平面AB1D1∥平面BDC1.

变式训练

如图10,在正方体ABCD—EFGH中，M、N、P、Q、R分别是EH、EF、BC、CD、AD的中点，求证：平面MNA∥平面PQG.

图10

证明：∵M、N、P、Q、R分别是EH、EF、BC、CD、AD的中点，∴MN∥HF,PQ∥BD.∵BD∥HF,

∴MN∥PQ.

∵PR∥GH,PR=GH;MH∥AR,MH=AR,∴四边形RPGH为平行四边形，四边形ARHM为平行四边形.

∴AM∥RH,RH∥PG.∴AM∥PG.

∵MN∥PQ,MN⊄平面PQG,PQ⊂平面PQG,∴MN∥平面PQG.

同理可证，AM∥平面PQG.又直线AM与直线MN相交，

∴平面MNA∥平面PQG.

点评：证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，所以关键是证线线平行.

例2 证明两个平面平行的性质定理.

解：如图11,已知平面α、β、γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,求证:a∥b.