对勾函数详细分析
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对勾函数的性质及应用
一.对勾函数b y ax x
=+)0,0(>>b a 的图像与性质：
1. 定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）
2. 值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)
3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即0)()(=-+x f x f
4. 图像在一、三象限, 当0x >时，b
y
ax x
=+
≥2√ab （当
且仅当b x a =
)(x f 在x=a
b 时，取最小值ab 2
由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=a
b -时，取最大值ab 2-
5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a
b ），（a b -,0）
1、 对勾函数的变形形式 类型一：函数b
y ax x
=+
)0,0(<
2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)
3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.
4.图像在二、四象限, 当x<0时，)(x f 在x=a b 时，取
最小值ab 2；当0x >时，)(x f 在x=a b -时，取最大
值ab 2-
5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,a
b ），（a b -∞-,）,
类型二：斜勾函数b
y ax x =+)0( ①0,0<>b a 作图如下 1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞ 2.值域：R 3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：增区间为（-∞，0），（0，+∞）. ②0,0> 1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞ 2.值域：R 3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：减区间为（-∞，0），（0，+∞）. 类型三：函数)0()(2>++=ac x c bx ax x f 。 此类函数可变形为b x c ax x f ++=)(，可由对勾函数x c ax y + =上下平移得到 练习1.函数x x x x f 1 )(2++=的对称中心为 类型四：函数)0,0()(≠>++ =k a k x a x x f 此类函数可变形为k k x a k x x f -+++=)()(，则)(x f 可由对勾函数x a x y +=左右平移，上下平移得到 练习 1.作函数21 )(-+=x x x f 与x x x x f +++=2 3)(的草图 2.求函数421 )(-+ =x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标 3. 求函数1 )(-+=x x x x f 的单调区间及对称中心 类型五：函数)0,0()(2>≠+=b a b x ax x f 。此类函数定义域为R ，且可变形为x b x a x b x a x f + =+=2)( a.若0>a ，图像如下： 1．定义域：),(+∞-∞ 2. 值域：]21,21[b a b a ⋅ ⋅ - 3. 奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限.当0x >时，)(x f 在b x =时，取最大值b a 2，当x<0 时，)(x f 在x=b -时，取最小值b a 2- 5. 单调性：减区间为（∞+,b ），（b -∞-,）；增区间是],[b b - 练习1.函数 1)(2+= x x x f 的在区间[)2,+∞上的值域为