高等数学课件：1多元函数微分学的应用
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其底边平行于长轴的最大的
等腰三角形的面积
xy＝ ＝02（不合题意，舍去），
x＝3 ， y＝－1
Hale Waihona Puke Baidu
东南大学
12.求两曲面x＋2y＝1和x 2＋2y 2＋z 2＝1
的交线距原点最近的点。
13.求中心在原点的椭圆5x2＋4xy＋8y2＝1
的长半轴和短半轴
（长半轴a＝ 1 ，短半轴b＝ 1 ）
2
3
东南大学
东南大学
例:
1.
求二元函数 f (x , y)=x2(2+y2 )+y ln y 的极值
东南大学
2.求z＝ 4－x3－y2
在圆域x2＋y2 1上的最值。
3.求z＝x 2＋y 2
在圆域（x－ 2）2＋（y－ 2）2 9上的最值。 （最大值为25，最小值为0）
东南大学
5.求z＝x2＋y2到平面x y 2z 2 之间的最短距离
6.求z＝x 2＋y 2 +z 2在约束条件
z＝x2＋y2和x y z 4下的最大最小值.
72
6
东南大学
7、设三角形的三边长分别为a,b,c
面积为S，试求该三角形内一点到
三边距离之乘积的最大值。 提示：u＝xyz且ax＋by＋cz＝2S x＝y＝z＝ 2S
3abc
东南大学
8、经过（2，1、1）的所有平面中， 3
求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量)
东南大学
例:
1).
2).
东南大学
3).
东南大学
4).
___________________
东南大学
三. 极值与最值问题 • 极值的必要条件与充分条件 • 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) • 求解最值问题(求区域内部的驻点和边界上 可能的极值点)
14.已知曲线C
:
x 2＋y 2
2 z 2＝0
,
x y 3z 5
求曲线C上的点距离xoy面
的最远,最近点距离.
( 5, 5, 5),(1,1,1)
哪一个平面与三个坐标面所围成的 立体的体积最小。
（a＝6，b＝3，c＝1）
东南大学
9、求内接于定圆的三角形中面积最大者
（＝＝＝2 ）
3
10、在圆锥面z＝ x2＋y2与平面z＝3所为成 的锥体内作出底面平行于xoy坐标面的长方体，
求此长方体的体积的最大值。
东南大学
11、求内接于椭圆x2＋3y2＝12，
东南大学
多元函数微分学应用
东南大学
一.方向导数与梯度(数一) 梯度: 方向导数:
方向导数取最值问题?
东南大学
1)．
２)．
东南大学
3). 4).
在点(1,1,0)处沿方向_____________ 时, 方向导数取最大值,此时最大值为______.
东南大学
二.在几何中的应用 求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量)
等腰三角形的面积
xy＝ ＝02（不合题意，舍去），
x＝3 ， y＝－1
Hale Waihona Puke Baidu
东南大学
12.求两曲面x＋2y＝1和x 2＋2y 2＋z 2＝1
的交线距原点最近的点。
13.求中心在原点的椭圆5x2＋4xy＋8y2＝1
的长半轴和短半轴
（长半轴a＝ 1 ，短半轴b＝ 1 ）
2
3
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例:
1.
求二元函数 f (x , y)=x2(2+y2 )+y ln y 的极值
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2.求z＝ 4－x3－y2
在圆域x2＋y2 1上的最值。
3.求z＝x 2＋y 2
在圆域（x－ 2）2＋（y－ 2）2 9上的最值。 （最大值为25，最小值为0）
东南大学
5.求z＝x2＋y2到平面x y 2z 2 之间的最短距离
6.求z＝x 2＋y 2 +z 2在约束条件
z＝x2＋y2和x y z 4下的最大最小值.
72
6
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7、设三角形的三边长分别为a,b,c
面积为S，试求该三角形内一点到
三边距离之乘积的最大值。 提示：u＝xyz且ax＋by＋cz＝2S x＝y＝z＝ 2S
3abc
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8、经过（2，1、1）的所有平面中， 3
求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量)
东南大学
例:
1).
2).
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3).
东南大学
4).
___________________
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三. 极值与最值问题 • 极值的必要条件与充分条件 • 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) • 求解最值问题(求区域内部的驻点和边界上 可能的极值点)
14.已知曲线C
:
x 2＋y 2
2 z 2＝0
,
x y 3z 5
求曲线C上的点距离xoy面
的最远,最近点距离.
( 5, 5, 5),(1,1,1)
哪一个平面与三个坐标面所围成的 立体的体积最小。
（a＝6，b＝3，c＝1）
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9、求内接于定圆的三角形中面积最大者
（＝＝＝2 ）
3
10、在圆锥面z＝ x2＋y2与平面z＝3所为成 的锥体内作出底面平行于xoy坐标面的长方体，
求此长方体的体积的最大值。
东南大学
11、求内接于椭圆x2＋3y2＝12，
东南大学
多元函数微分学应用
东南大学
一.方向导数与梯度(数一) 梯度: 方向导数:
方向导数取最值问题?
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1)．
２)．
东南大学
3). 4).
在点(1,1,0)处沿方向_____________ 时, 方向导数取最大值,此时最大值为______.
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二.在几何中的应用 求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量)