一道初中几何题的多种解法
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一道初中几何题的多种解法
【题目】已知：过ABC ∆的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E . 求证：FB
AF
ED AE 2=
.
【分析】平行线分线段成比例 【提示】系数2既是难点，又是突破点
【解法1】
证：连BE ，则由同高三角形面积关系得
BCF ACF BEF AEF S S S S FB AF ∆∆∆∆==，CDE
AEC
S S ED AE ∆∆= 根据等比性质得：
BCE
ACE
BEF BCF AEF ACF S S S S S S FB AF ∆∆∆∆∆∆=--= ∵D 为BC 的中点， ∴DCE BCE S S ∆∆=2 ∴
DE AE FB AF 2=，即FB
AF
ED AE 2=
【解法2】
证：过D 作CF DM //交AB 于M ，
∵CF DM //， ∴
FM
AF
ED AE = ∵D 为BC 的中点，CF DM //
∴M 为BF 的中点，即BF MF 2
1
=
， ∴BF AF
ED AE 2
1
=
，即FB AF ED AE 2=
C
C
C
【解法3】
证：过D 作AB DN //交CF 于N ，
∵AB DN //， ∴
DN
AF
ED AE =
∵D 为BC 的中点，AB DN // ∴N 为CF 的中点，
∴DN 为BCF ∆的中位线，则BF DN 2
1
= ∴
BF AF
ED
AE 2
1=，即FB AF ED AE 2= 【解法4】
证：过B 作CF BG //交AD 延长线于G ，
∵CF BG //， ∴
EG
AE
FB AF =
∵D 为BC 的中点，CF BG // ∴D 为GF 的中点，即DE EG 2=
∴
DE AE
FB AF 2=
， 即FB
AF ED AE 2= 【解法5】
证：过B 作AD BH //交CF 延长线于H ，
∵AD BH //，
∴BH
AE
FB AF = ∵D 为BC 的中点，AD BH // ∴E 为CH 的中点，
∴DE 为BCH ∆的中位线，则DE BH 2= ∴DE AE FB AF 2=，即FB
AF
ED AE 2=
D
B
C
G C
D
B C
【解法6】
证：过A 作BC AK //交CF 延长线于K ，
∵BC AK //，
∴BC AK FB AF =，DC
AK ED AE = ∵D 为BC 的中点， ∴DC BC 2=
∴ED AE DC AK BC AK FB AF 22=
== 即FB
AF ED AE 2=
【解法7】
证：过A 作CF AP //交BC 延长线于P ，
∵CF AP //， ∴
CB PC
FB AF =
， CD
PC
ED AE =
∵D 为BC 的中点， ∴DC BC 2=
∴
ED AE
CD PC CB PC FB AF 22=
== 即FB
AF ED AE 2=
【解法8】
证：过D 作AC DP //交CF 延长线于P ，交AB 于Q ，
∵AC DP //， ∴
DP
AC
ED AE =，QP AC FQ AF = ∵D 为BC 的中点，AC DP // ∴Q 为AB 的中点， 即FQ AF BF 2+=，AC DQ 2
1
=
，
C
D
B
D
B
C
∵
QP AC FQ AF =，由合比性质得FQ
AF AF PQ AC AC +=
+2
12
12121，即BF AF
DP AC 21
= ∴BF AF
ED AE 2
1
=
，即FB AF ED AE 2= 【解法9】
证：过B 作AC BM //分别交CF 、AD 的延长线于M 、N ，
∵AC BM //， ∴
BM AC FB AF =，MN
AC
EN AE =
∵D 为BC 的中点，AC BM // ∴DN AD =，AC BN = 则ED AE EN 2+=，
∵
MN AC EN AE =，即MN
AC
ED AE AE =
+2 由合比性质得AC
MN AC
ED AE -=
2， 即BM AC ED AE =2 ∴BF AF ED AE =2，即FB
AF ED AE 2=
【解法10】
证：过C 作AD CK //交BA 延长线于K ，
∵AD CK //，D 为BC 的中点， ∴AB AK =，AD CK 2=， ∵AD CK //
∴
FK AF CK AE =，即AK AF AF
AD AE +=2， ∴AK
AF AF
AD AE +=2 由合比性质得
AF AK AF AF AE AD AE 22-+=-，即AF AB AF
DE AE -=2，
∴FB
AF
ED AE 2= N
M
C
D
B C