高中数学复合函数练习题

第一篇、复合函数问题

一、复合函数定义：设 y=f(u) 的定义域为A，u=g(x) 的值域为 B，若 A B，则 y 关于 x 函数的 y=f

［g(x) ］叫做函数 f 与 g 的复合函数， u 叫中间量 . 二、

复合函数定义域问题：

（一）例题剖析：

(1)、已知f ( x)的定义域，求f g( x) 的定义域

思路：设函数 f ( x) 的定义域为D，即x D ，所以f的作用范围为D，又f对 g( x) 作用，作用范围不变，所以 g ( x) D ，解得x E ，E为f g( x )的定义域。

例 1. 设函数f (u)的定义域为（0，1），则函数f (ln x)的定义域为 _____________。

解析：函数 f (u) 的定义域为（0，1）即u(0， 1) ，所以 f 的作用范围为（0， 1）

又 f 对 lnx 作用，作用范围不变，所以0 ln x1

解得 x(1， e) ，故函数 f (ln x)的定义域为（1， e）

例 2.若函数

f ( x)1，则函数 f f ( x)的定义域为 ______________。

x 1

解析：由

f ( x)

1

1 即f的作用范围为x R| x1，又 f 对 f(x)作用所以

，知 x

x1

f ( x)R且 f ( x)1，即 f f ( x) 中x应满足x1

R|x1且x2

x

f ( x)1

（2）、已知 f g( x)

的定义域，求 f (x) 的定义域

思路：设

f g( x) 的定义域为D，即x D ，由此得 g( x) E ，所以f的作用范围为E，又f对x 作用，作用范围不变，所以x E， E 为 f( x) 的定义域。

例 3. 已知f (3 2 x)的定义域为x1， 2，则函数 f (x) 的定义域为_________。

解析： f (3 2x) 的定义域为1， 2，即 x1， 2，由此得 32x1， 5

即函数 f ( x) 的定义域为1， 5

例 4. 已知f (x24)x 2

，则函数 f( x) 的定义域为______________。

lg

x28

解析：先求 f 的作用范围，由 f ( x

24) lg x 2，知x20f ( x) 的定义域为

x8x28

(4，)

（3）、已知 f g( x)

的定义域，求 f h(x) 的定义域

思路：设

f g( x) 的定义域为D，即x D ，由此得 g( x) E ，f的作用范围为E，又f对h( x)作用，作用范围不变，所以 h( x) E ，解得x F ，F为f h( x) 的定义域。

例5.若函数 f (2 x )

的定义域为1，1 ，则 f (log2x)

的定义域为____________。

解析：

f (2 x ) 的定义域为1，1 ，即 x1，1 ，由此得2x 1

， 2 2

f 的作用范围为1， 2又f对 log

2 x 作用，所以 log 2 x

1

， 2，解得x2， 4

22

即 f (log 2x) 的定义域为2， 4

（二）同步练习：

1、已知函数f ( x )

的定义域为

[0, 1]

，求函数

f ( x2)

的定义域。答案：

[

1, 1]

2、已知函数f (32x)

的定义域为

[

3,

3]

，求

f ( x)

的定义域。答案：

[

3, 9]

3、已知函数y f ( x 2)

的定义域为 (1, 0) ，求 f (| 2x

(

1

, 0)(1,

3

)

1 |) 的定义域。答案：22

三、复合函数单调性问题

（1）引理证明

已知函数 y f (g( x)) .若 u g (x) 在区间 (a,b ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数

y f (u) 在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y f (g ( x)) 在区间 ( a,b ）上是增函数.

证明：在区间 (a,b ）内任取两个数 x1 , x2，使 a x1x2b

因为 u g( x) 在区间 (a, b ）上是减函数，所以g( x1 )g (x2 ) ,记 u1g( x1 ) ,u2g ( x2 )

即

u1u2,且 u1 ,u2(c, d )

因为函数 y f (u) 在区间(c,d)上是减函数，所以 f (u1 ) f (u2 ) ,即 f (g( x1 )) f ( g( x2 )) ，故函数 y f (g ( x)) 在区间 (a,b ）上是增函数.

（2）．复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

增↗减↘y f (u)

增↗减↘增↗减↘u g (x)

增↗减↘减↘增↗y f ( g( x))

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.

（3）、复合函数y f ( g( x)) 的单调性判断步骤：

ⅰ确定函数的定义域；ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：y f (u) 与 u g( x) 。ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性；

ⅳ若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数

y f (g( x)) 为增函数；

若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函

数），则复合后的函数y f ( g( x)) 为减函数。

（4）例题演练

例 1、求函数y log 1( x22x3) 的单调区间，并用单调定义给予证明

2

解：定义域x22x30x3或 x1。单调减区间是(3,)设x1 , x2(3,)且 x1x2则y1log 1 (x122x13)y2log 1 (x222x23)

22

( x122x13)(x222x23) = (x

2x )(x

2

x2)∵x2x1 3∴ x2 x10 11

x2x120∴ ( x12 2 x13) >( x222x23)又底数011

2

∴

y2y10即y2y1∴y在 (3,) 上是减函数同理可证：y在 (, 1) 上是增函数［例］ 2、讨论函数f(x)log a (3x22x1) 的单调性.

322x10 得函数的定义域为或1

{ x | x1,x}.

［解］由x3

则当 a 1 时，若 x 1 ，∵

u 3 221为增函数，∴

f (x)

2

2x1)

为增函数 . x x log a (3x

若x 1

，∵ u3x22x1为减函数.∴f (x)log a(3x22x 1) 为减函数。

3

1

当

0 a 1 时，若 x 1 ，则f ( x)l o g a(3x22x 1)为减函数，若x，则

3

f (x)l o g(3x22x1)为增函数 .

a

（ 5）同步练习：