材料力学弯曲应力ppt课件
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1
第五章 弯曲应力
§5-1 平面弯曲时梁横截面上的正应力 §5-2 梁横截面上的切应力 §5-3 梁的正应力和切应力强度条件 §5-4 提高梁强度的措施
2
§5-1 平面弯曲时梁横截面上的正应力
一、纯弯曲（Pure Bending）
aF
Fa
C
A
B
AC、BD：
剪力FS D 内力
弯矩M
切应力t 正应力s
M1 ( 2 2 ) x1 60kNm
13
1 q=60kN/m
Mmax qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
A
B 求应力
1m
2m
1
12
z
120
qL2
y
M
M1 8 Mmax
180 30
Iz
bh3 12
1201803 12
1012
5.832 105 m4
横力弯曲：
x dx
M
s
FS
t
切应力的分布规律与梁的横截面形状有关，因此以梁的
横截面形状不同分别加以讨论。
b
一、 矩形截面梁横截面上的切应力
1、两点假设： 切应力与剪力平行； 距中性轴等距离处，切应力相等。
h y
FS z
t
y
18
2、研究方法：分离体平衡。
5
纵向对称面 中性层
中性轴
两个概念： 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线。
6
2.假设 平截面假设：横截面变形后仍为垂直于轴线的平面，只是绕 中性轴发生转动。 纵向纤维互不挤压假设：梁由许多纵向纤维组成，变形时各 纤维层之间没有挤压作用。
30
q=50kN/m
A
解：
CB
D
2m
1m
FS 37.5kN
50kN
x
62.5kN
M 14kNm x
25kNm
z
20
(s t max )C
MC y2 Iz
14000 0.142
2.59 105
76.8MPa (C截 面 下 缘)
(s c max )C
M C y1 Iz
14000 0.048 2.59 105
s dA
y
y
9
M z A (sdA) y
Ey 2
A dA E y 2dA
A
EI z M
1M
EI z
… …(3)
s My
Iz
… …(4)
z
sM
x
s dA
y
y
EIz 杆的抗弯刚度。
纯弯梁的正应力计算公式
10
（四）最大正应力：
s max
M Wz
Wz
Iz ymax
… …(5)
抗弯截面模量。
scmax
z M x
s dA
y
y stmax
d
a d
D
D
b
圆环
Wz
Iz ymax
D3 (1 a 4 )
32
矩形
Wz
Iz ymax
bh2 6
11
三、 平面弯曲时梁横截面上的正应力
s My
Iz
M：所在截面的弯矩；
y：所求点到中性轴的距离； Iz：横截面对中性轴的惯性矩。
Wz
bh2 6
6.48104 m3
s1
s2
M1 y Iz
60 60 105 61.7MPa 5.832
+
x
14
1 q=60kN/m
A
B
s 1max
M1 Wz
60 104 6.48
92.6MPa
1m
2m
1
s max
M max Wz
67.5 104 6.48
104.2MPa
3.推论 横截面上只有正应力。 纵截面上无正应力和切应力。
7
4. 几何方程：
a
c
O b
y
O1 d
dq
a1
O b1
y
c1
O1 d1
x
y
b1d1 bd
bd
b1d1 OO1
OO1
( y)dq dq y
dq
M
a
c
M y
...... (1)
b
d
例1 受均布载荷作用的简支梁如 图所示，试求：
A
B （1）1—1截面上1、2两点的正
应力；
180 30
1m 1
2m
12
（2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力；
z
qL2
120 y
M
M1 8 Mmax
（4）已知E=200GPa，求1—1 截面的曲率半径。
解：画M图求截面弯矩
+
x
qLx qx2
180 30
12
120 qL2
求曲率半径
M
M81 Mmax
1
EI z M1
200 5.832 10 194.4m 60
+
x
15
例2 求图示梁内力图、最大拉应力和最大压应力，并画出危 险截面上的应力分布图。（Iz=2.5910-5 m 4）
37.5kN
112.5kN
200
160 142
137MPa (B截 面 下 缘)
(s t max )B
M B y2 Iz
25000 0.048 2.59 105
43.6MPa (B截 面 上 缘)
s t max 76.8MPa (C截面下缘)
s c max 137MPa ( B截面下缘)
17
§5－2 梁横截面上的切应力
25.9MPa (C截 面 上 缘)
16
37.5kN
112.5kN
q=50kN/m
A
CB
D
2m
1m
FS 37.5kN
50kN
x
62.5kN
M 14kNm x
25kNm
160 142
30
C
B
200
43.6MPa
z
20
76.8MPa 137MPa
(sห้องสมุดไป่ตู้c max )B
M B y2 Iz
25000 0.142 2.59 105
FS F
M
Fa
横截面既有FS又有M称为剪切弯曲
（横力弯曲）
x
F
AB：FS＝0，M＝常数
只有弯矩没有剪力称为 纯弯曲。
x
3
二、 纯弯曲时梁横截面上的正应力 （一）变形几何规律： 1.实验现象：
4
a
b
c
d
M
M
a
b
c
d
• 横向线(ac、bd）变形后仍为直线，但有转动；
• 纵向线变为曲线，且上缩下伸；
• 横向线与纵向线变形后仍正交。
8
（二）物理关系：
假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应 力状态，在弹性范围内。
s E Ey ...... (2)
（三）静力学关系：
Fx AsdA
Ey
A dA
E ydA ES z 0
A
Sz 0 z 轴（中性轴）过形心
s
s
z
s
x
• L>5d：误差小于 1%。
• 适用条件：等截面直梁 平面弯曲 弹性范围内
s max
M max ymax Iz
A1
y1
M
Cz
y2
A2
中性轴为对称轴
s max
M max I z ymax
M max Wz
s t max
M max y2 Iz
s c max
M max y1 Iz
12
1 q=60kN/m
第五章 弯曲应力
§5-1 平面弯曲时梁横截面上的正应力 §5-2 梁横截面上的切应力 §5-3 梁的正应力和切应力强度条件 §5-4 提高梁强度的措施
2
§5-1 平面弯曲时梁横截面上的正应力
一、纯弯曲（Pure Bending）
aF
Fa
C
A
B
AC、BD：
剪力FS D 内力
弯矩M
切应力t 正应力s
M1 ( 2 2 ) x1 60kNm
13
1 q=60kN/m
Mmax qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
A
B 求应力
1m
2m
1
12
z
120
qL2
y
M
M1 8 Mmax
180 30
Iz
bh3 12
1201803 12
1012
5.832 105 m4
横力弯曲：
x dx
M
s
FS
t
切应力的分布规律与梁的横截面形状有关，因此以梁的
横截面形状不同分别加以讨论。
b
一、 矩形截面梁横截面上的切应力
1、两点假设： 切应力与剪力平行； 距中性轴等距离处，切应力相等。
h y
FS z
t
y
18
2、研究方法：分离体平衡。
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纵向对称面 中性层
中性轴
两个概念： 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线。
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2.假设 平截面假设：横截面变形后仍为垂直于轴线的平面，只是绕 中性轴发生转动。 纵向纤维互不挤压假设：梁由许多纵向纤维组成，变形时各 纤维层之间没有挤压作用。
30
q=50kN/m
A
解：
CB
D
2m
1m
FS 37.5kN
50kN
x
62.5kN
M 14kNm x
25kNm
z
20
(s t max )C
MC y2 Iz
14000 0.142
2.59 105
76.8MPa (C截 面 下 缘)
(s c max )C
M C y1 Iz
14000 0.048 2.59 105
s dA
y
y
9
M z A (sdA) y
Ey 2
A dA E y 2dA
A
EI z M
1M
EI z
… …(3)
s My
Iz
… …(4)
z
sM
x
s dA
y
y
EIz 杆的抗弯刚度。
纯弯梁的正应力计算公式
10
（四）最大正应力：
s max
M Wz
Wz
Iz ymax
… …(5)
抗弯截面模量。
scmax
z M x
s dA
y
y stmax
d
a d
D
D
b
圆环
Wz
Iz ymax
D3 (1 a 4 )
32
矩形
Wz
Iz ymax
bh2 6
11
三、 平面弯曲时梁横截面上的正应力
s My
Iz
M：所在截面的弯矩；
y：所求点到中性轴的距离； Iz：横截面对中性轴的惯性矩。
Wz
bh2 6
6.48104 m3
s1
s2
M1 y Iz
60 60 105 61.7MPa 5.832
+
x
14
1 q=60kN/m
A
B
s 1max
M1 Wz
60 104 6.48
92.6MPa
1m
2m
1
s max
M max Wz
67.5 104 6.48
104.2MPa
3.推论 横截面上只有正应力。 纵截面上无正应力和切应力。
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4. 几何方程：
a
c
O b
y
O1 d
dq
a1
O b1
y
c1
O1 d1
x
y
b1d1 bd
bd
b1d1 OO1
OO1
( y)dq dq y
dq
M
a
c
M y
...... (1)
b
d
例1 受均布载荷作用的简支梁如 图所示，试求：
A
B （1）1—1截面上1、2两点的正
应力；
180 30
1m 1
2m
12
（2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力；
z
qL2
120 y
M
M1 8 Mmax
（4）已知E=200GPa，求1—1 截面的曲率半径。
解：画M图求截面弯矩
+
x
qLx qx2
180 30
12
120 qL2
求曲率半径
M
M81 Mmax
1
EI z M1
200 5.832 10 194.4m 60
+
x
15
例2 求图示梁内力图、最大拉应力和最大压应力，并画出危 险截面上的应力分布图。（Iz=2.5910-5 m 4）
37.5kN
112.5kN
200
160 142
137MPa (B截 面 下 缘)
(s t max )B
M B y2 Iz
25000 0.048 2.59 105
43.6MPa (B截 面 上 缘)
s t max 76.8MPa (C截面下缘)
s c max 137MPa ( B截面下缘)
17
§5－2 梁横截面上的切应力
25.9MPa (C截 面 上 缘)
16
37.5kN
112.5kN
q=50kN/m
A
CB
D
2m
1m
FS 37.5kN
50kN
x
62.5kN
M 14kNm x
25kNm
160 142
30
C
B
200
43.6MPa
z
20
76.8MPa 137MPa
(sห้องสมุดไป่ตู้c max )B
M B y2 Iz
25000 0.142 2.59 105
FS F
M
Fa
横截面既有FS又有M称为剪切弯曲
（横力弯曲）
x
F
AB：FS＝0，M＝常数
只有弯矩没有剪力称为 纯弯曲。
x
3
二、 纯弯曲时梁横截面上的正应力 （一）变形几何规律： 1.实验现象：
4
a
b
c
d
M
M
a
b
c
d
• 横向线(ac、bd）变形后仍为直线，但有转动；
• 纵向线变为曲线，且上缩下伸；
• 横向线与纵向线变形后仍正交。
8
（二）物理关系：
假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应 力状态，在弹性范围内。
s E Ey ...... (2)
（三）静力学关系：
Fx AsdA
Ey
A dA
E ydA ES z 0
A
Sz 0 z 轴（中性轴）过形心
s
s
z
s
x
• L>5d：误差小于 1%。
• 适用条件：等截面直梁 平面弯曲 弹性范围内
s max
M max ymax Iz
A1
y1
M
Cz
y2
A2
中性轴为对称轴
s max
M max I z ymax
M max Wz
s t max
M max y2 Iz
s c max
M max y1 Iz
12
1 q=60kN/m