张量分析

''',123123111213212223313233123322311331221,,1,2,3

()e ()()()mn m n

ij mn

m n i j

m n l m nl imn

m

imn mn m mn

m

mn n m

n m A m n x x A A x x v v v w w w v w v w v w v w v w v w v w v w v w A A A A A A A A A

v δ=∂∂=∂∂=++=++⋅=∈⎛⎫ ⎪

⊗= ⎪

⎪⎝⎭

=∈-+-+-⋅=

⨯∑

∑∑v i j k w i j k e e e v w A e e e v e e 11121321222331323323,(e )l l n

l

v A A A A A A A A A v v ⋅++++++++++∑∑ii ij ik ji jj jk ki kj kk j k

并矢张量

在多重线性代数里，并矢张量（dyadic tensor ）是一个特别标记法写出的二阶张量，是由成对的向量并置形成的。针对这特别的标记法，有一套专门计算这种表达式，类似于矩阵代数规则的方法。并矢张量的每一对向量的并置称为并矢(dyad)。两个单位基底向量的并矢积称为单位并矢(unit dyad)。标量与单位并矢的乘积就是并矢。 例如，设定两个三维向量v 和w ，

123123v v v w w w =++=++v i j k w i j k

其中，i ，j ，k 形成了一个三维空间里的标准正交基的单位基底向量。 那么v 和w 并置成为：

111213212223313233v w v w v w v w v w v w v w v w v w =++++++++vw ii ij ik ji jj jk ki kj kk 其中，ii 、jj 、kk 等都是单位并矢，11v w ii 、12v w ij 、13v w ik 等等，都是并矢。 并矢张量vw 也可表达为：

11121321

222331

32

33v w v w v w v w v w v w v w v w v w ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

vw 根据Morse 与feshbach 所著作的权威教科书[3]，在三维空间里，并矢张量 A 是一个3×3阵列，其分量

,,1,2,3

mn A m n = ，当从一个坐标系变换到另外一个坐标系时，遵守协变变换

(covariant transformation)的定律。

()()()ααα⋅=⋅*=⋅T v T v T v ， ()()()ααα⋅=*⋅=⋅v T v T v T

从而可以把上述两个结果分别记为α⋅T v 和α⋅v T 。在上述公式中，α*表示α的复共轭（如果F

=

）。

（7） 对于任意的,S T V V ∈⊗以及V ∈v ，总有

()+⋅=⋅+⋅S T v S v T v ，()⋅+=⋅+⋅v S T v S v T

（8） 对于任意的V V ∈⊗T 以及,V ∈v w ，总有

()⋅+=⋅+⋅T v w T v T w ，()+⋅=⋅+⋅v w T v T w T

（9） 对任意的,,V ∈u v w ，总有

()()⋅=⋅uv w u v w ，()()⋅=⋅u vw u v w

范例 旋转

设定M 为一个并矢张量：

0110-⎛⎫

=-= ⎪⎝⎭

M ji ij

M 是一个二维空间的 90°

旋转算子 (rotation operator) 。它可以从左边点积一个向量来产生一个旋转： ()()()x y x y x x y y y x ⋅+=-⋅+=⋅-⋅+⋅-⋅=-+M i j ji ij i j ji i ij i ji j ij j i j

或以矩阵表达，

0110x y y x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫

= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

一个一般的二维旋转并矢张量，会产生 θ 角度反时针方向的旋转，表达为

cos sin cos sin sin cos θ

θθθθ

θ-⎛⎫

+=

⎪⎝⎭

I I 量子力学

设V 2,1,3/2, ），则F = ，当我们要考虑角动量耦合的时候，就会遇到态矢量的并矢张量11

22j m j m ，而且时常把它们

记作1122j m j m 或1122,j m j m 等等，任取一些复数1122j m j m C （但是其中只能有有限个非零），则

经典力学

念的最初原型。 并矢张量的展开

()()()(5)(5)i j i j

i j i j i j i j i j i j i j

v w v w v w ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=== ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑∑vw e e e e e e

接下来重复地利用规则 (2) 可得

()()()()()(2)

(2)

i

j

i

j

i

j

i j i

j

i

j

i

j

i

j

i

j

v w v w v w ===∑∑∑∑∑∑vw e e e e e e

这样，我们就证明了所有的并矢，即形如 vw 的张量都能够写成 i j e e 的线性组合。接下来，按照规则 (3) 以及上面的结论，所有的二阶张量最终都能够表达为 i j e e 的线性组合。