流体力学第章流体运动微分方程

N-S方程有四个未知数，vx、vy、vz和p，将 N-S方程和不可压缩流体的连续性方程联立，理 论上可通过积分求解，得到四个未知量。一般 而言，通过积分得到的是微分方程的通解，再 结合基本微分方程组的定解条件，即初始条件 和边界条件，确定积分常数，才能得到具体流 动问题的特解。
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1.初始条件
对非定常流动，要求给定变量初始时刻t=t0 的空间分布
运动学条件，即通过交界面的法向速度应相等。 压强平衡条件，即液体的压强必须与大气压和表 面张力相平衡。
31
根据这些初始条件和边界条件，我们可对 基本微分方程组积分，并确定积分常数，得到 符合实际流动的求解结果。
但实际上，只有极少数的问题可求出理论 解，通常采用数值解法。
32
例题：不可压缩粘性流体在距离为b的两个大水 平板间作定常层流流动，假定流体沿流动方向 的压强降已知，求:
6 流体流动微分方程
基本内容：
掌握连续性方程及其推导※ 熟悉Navier-Stokes方程 了解Euler方程
1
控制体分析 最大优点在于对定常流动，当已知控制面
上流动的有关信息后，就能求出总力的分量和 平均速度，而不必深究控制体内各处流动的详 细情况，给一些工程问题的求解带来方便。
缺点不能得到控制体内各处流动的细节， 而这对深入研究流体运动是非常重要的。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
AD 0
又由于流动无旋，则有
u v y x
则有 B C 0
14
练习：
有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分 速度为
vx x2 y2z3
vy (xy yz zx)
求其z向的分速度的表达式。当x=0，z=0时，
vz=2y。
答案：
vz
z2 2
zx
2y
15
6.2不可压缩粘性流体运动微分方程 在运动着的不可压缩粘性流体中取微元平
行六面体流体微团，作用在流体微元上的各法 向应力和切向应力如图所示。
16
σyy+
әσyy
әy
dy
әyx yx+ әy dy
dy y
yz+
әyz
әy dy
zx
σzz
σxx xz
zy+
әzy
（1）两板固定不动;
（2）下板固定上板以等速U沿流动方向运动；
两板间流体运动的速度分布。
y 流向
b x
33
解：由于流体水平运动，则有
f x 0, f y g, f z 0
由于流动是一维的，有vy=vz=0； 由于流动是定常的，有
vx vy vz 0 t t t
34
Dvx Dt
fx
1
p x
这一章中我们将推导微分形式的守恒方程。
2
流体流动微分方程包括: 连续性方程 运动方程
连续性方程是流体质量守恒的数学描述。 运动方程是流体动量守恒的数学描述。 二者都是基于流场中的点建立的微分方程。
3
6.1 连续性方程
连续性方程反映流动过程遵循质量守恒。 现取微元体如图。
z
vz
(vz
z
)
dz
ρvx
牛顿和非牛顿流体。 7
(
v)
0
t
对不可压缩流体，ρ=常数，有әρ/әt=0，则 连续性方程为
v 0
不可压缩流体的连续性方程不仅形式简单，而 且应用广泛，很多可压缩流体的流动也可按常 密度流动处理。
8
在直角坐标系中可表示为
vx vy vz 0 x y z
(柱坐标和球坐标下的连续性方程自学。) 对平面流动
26
由于引入了广义牛顿剪切定律，故N-S方 程只适用于牛顿流体，处理非牛顿流体问题 时可用以应力表示的运动方程。
Navier-Stokes方程是不可压流体理论中 最根本的非线性偏微分方程组，是描述不可 压缩粘性流体运动最完整的方程，是现代流 体力学的主干方程 。
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6.3基本微分方程组的定解条件
yxdzdx
(
yx
yx
y
dy)dzdx
zx dxdy
( zx
zx
z
dz)dxdy
dxdydz
Dvx Dt
18
化简后得
fx
1
(
xx
x
yx
y
zx
z
)
Dvx Dt
同理得
——以应力表示的运动方程 19
将切应力和法向应力的关系式
xy
( vx
y
vy x
)
yz
( vz
y
vy z
)
zx
( vx
vx vx0 (x, y, z)
vy vz
vy0 vz0
( x, ( x,
y, y,
z)
z)
p p0 (x, y, z)
显然，对于定 常流动，不需 要初始条件。
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2.边界条件
所谓边界条件，是包围流场每一条边界上的流场 数值。不同种类的流动，边界条件也不相同。流体流 动分析中最常遇到的三类边界条件如下：
(
2vx x 2
2vx y 2
2vx z 2
)
Dvy Dt
fy
1
p y
(
2vy x 2
2vy y 2
2vy z 2
)
Dvz Dt
fz
1
p ( 2vz
z x2
2vz y 2
2vz ) z 2
Dv v (v) v
Dt t
35
所以N-S方程可简化为
vx
vx x
1
p x
(
2vx x 2
2vx y 2
这时的边界条件为
vx |y0 0, vx |yb 0
代入式(5)可得
C1
b
2
p x
C2 0
38
于是得速度分布
vx
1
2
p x
(by
y2)
(2)上板以匀速U沿x方向运动 这时的边界条件为
vx |y0 0, vx |yb U
39
代入式(5)可得
C1
U b
b
2
p x
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于是得速度分布
C2 0
vx
)
Dv
v
(v) v
Dt t
——不可压缩粘性流体的运动微分方程，也
叫Navier-Stokes方程，简称N-S方程。
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N-S方程
理想流体 欧拉运动 微分方程
欧拉平衡 微分方程
24
N-S方程的矢量形式为
v
(v) v
f
1
p
2
v
t
①
②
③
④
⑤
各项意义为：①非定常项； ②对流项； ③单位质量流体的体积力； ④单位质量流体的压力差； ⑤扩散项或粘性力项
（1）固体壁面
粘性流体与一不渗透的，无滑移的固体壁面相接 触，在贴壁处，流体速度
v vw
若流体与物面处于热平衡态，则在物面上必须保持温 度连续
T Tw 30
（2）进口与出口 流动的进口与出口截面上的速度与压强的
分布通常也是需要知道的，如管流。 （3）液体-气体交界面
液体-气体交界面的边界条件主要有两个：
z
vz x
)
xx
p
2
vx x
yy
p
2
vy y
zz
p
2
vz z
代入上式的第一式并整理得：
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Dvx Dt
fx
1
p x
(
2vx x 2
2vx y 2
2vx z 2
)
同 理
Dvy Dt
fy
1
p y
(
2vy x 2
2vy y 2
2vy z 2
)
得
Dvz Dt
fz
1
p z
(
2vz x 2
2vz y 2
2vz z 2
x
)
dx
ρvz
x
y
5
则输出与输入之差为：
( (vx ) (vy ) (vz ) )dxdydz
x
y
z
微元体内质量变化率为：
dxdydz
t
6
根据质量守恒原理有：
(vx ) (vy ) (vz ) 0
x
y
z t
或
( v)
0
t
该式即为直角坐标系下的连续性方程。由于
未作任何假设，该方程适用于层流和湍流、
11
根据边界条件x=0时vx=0代入上式得
0 (1 2 y) 0 f ( y)
故有 f ( y) 0
所以
vx (1 2 y)x x 2xy
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例题：不可压缩流体的速度分布为
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求 A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
vx vy 0 x y
9
例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向 的速度分量为
vy y2 y x
试求x方向的速度分量，假定x=0时，vx=0。
10
vy=y2-y-x 解：不可压缩流体的平面运动满足连续性方程
vx vy 0 x y
由已知条件得
vx 2 y 1 0 x
积分得 vx (1 2 y)x f ( y)
ρvy
vy
(vy
y
)
dy
vx
(
vx
x
)
dx
ρvz
y
x
4
输入微元体的质量流量：
vxdydz vydxdz vzdxdy
输出微元体的质量流量为：
(vx
( vx
x
)
dx)dydz
(vy
( vy
y
)
dy)dxdz
(vz
(vz
z
)
dz)dxdy
z
vz
(vz
z
)
dz
ρvx
ρvy
v y
(vy
y
)
dy
vx
( vx
әz dz
xy
fy
zy
fz fx
σzz+
әσzz
әz
zx+
әzx
әz dz
yz
dz yx σyy
xy+
әxy
әx dx
σxx+
xz+
әxz
әx dx
dz
әσxx
әx
dx
dx zx
17
对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x轴 方向的运动微分方程为
f x dxdydz
xxdydz
(
xx
xx
x
dx)dydz
U b
y 1
2
p (by y 2 ) x
40
)
g p
y
由连续方程可得
vx 0 x
(1) (2)
(3)
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将式(3)代入式(1)得
p x
d 2vx dy 2
(4)
思考题：为什么上式右端偏导数改写成全导数？
对上式进行两次积分可得
vx
1
2
p x
y2
C1 y C2
(5)
37
下面根据两种情况下的不同边界条件来 确定常数C1，C2。 （1）两板固定不动