二重积分的分部积分公式与格林公式教学内容

二重积分的分部积分公式与格林公式

在导出黎曼问题的弱解概念时，在欧拉方程两边同时乘以任意函数再积分转化为一等价的“弱”形式的方程时用到了二重积分的分部积分方法，其实就是格林公式。

一般意义下的分部积分公式：

uv dx uv vu dx

''

=-

⎰⎰

或udv uv vdv

=-

⎰⎰

证明：

分部积分实际上是把普通积分公式f dx f

'=

⎰中的被积函数f换成了两个函数的乘积，故可称之为一维情况下的分部积分；

把普通积分公式运用到二维情况，其实就得到了格林公式，格林公式实现了把面积分转换成了线积分（降次）。

格林公式：

F

dxdy Fdy

x

Ω∂Ω

∂

=

∂

⎰⎰⎰

F

dxdy Fdx

y

Ω∂Ω

∂

=-

∂

⎰⎰⎰

一般合并写为

D L

Q P

dxdy Pdx Qdy

x y

⎛⎫

∂∂

-=+

⎪

∂∂

⎝⎭

⎰⎰⎰

证明（以第一个公式为例）：

积分域为{}

(x,y)|a(y)x b(y),c y d

Ω=≤≤≤≤，如图：

则：

(y)(y)

(y)(y)

(x,y)((y),y)

((y),y)d b c a d x b x a c

d

d

c c

F

dxdy x

F

dxdy x

F dy

F b dy F a dy

Fdy

Ω

==∂Ω

∂∂∂=

∂==-

=

⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰

类似地，把格林公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出二维情况下的

分部积分。

二重积分的分部积分公式：

()g

f

f

dxdy fg dy g

dxdy x

x Ω

∂Ω

Ω

∂∂=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ ()g

f

f

dxdy fg dx g

dxdy y y

Ω

∂Ω

Ω

∂∂=--∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 证明（以第一个公式为例）： 在F

dxdy Fdy x

Ω

∂Ω

∂=∂⎰⎰

⎰中，把F 换为fg ，则： ()

()fg dxdy fg dy x

Ω

∂Ω

∂=∂⎰⎰

⎰，

即()()g f f

g dxdy fg dy x x Ω

∂Ω

∂∂+=∂∂⎰⎰⎰ 即()g

f

f

dxdy fg dy g

dxdy x

x

Ω

∂Ω

Ω

∂∂=-

∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 综上：

把普通积分公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出了一维分部积分公式；

把格林公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出了二维分部积分公式。 且两种分部积分公式在形式上是很相似的：

uv dx uv vu dx ''=-⎰⎰ 对比 ()g

f

f

dxdy fg dy g

dxdy x

x

Ω

∂Ω

Ω

∂∂=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰

北航 曾元圆