第三章 协方差传播率及权

2.多个观测值线性函数的协方差阵
设2个观测值向量： 若：
X
n ,1
μX
DXX
DYY
Z = K X + K0
t ,1 t , n n ,1 t ,1
Y
r ,1
μY
W = F Y + F0
s ,1 s , r r ,1 s ,1
求：
DZZ
DWW
D ZW
DWZ
误差理论与测量平差基础
§3-2 协方差传播律
⎣ ⎦
（1）. 令W=(Y Z)T，求W的协方差阵。 （2）. F的方差
σ
2 F
D ZW = E [( Z − E ( Z ))( W − E (W )) T ]
= E [( KX + K 0 − Kμ x − K 0 )( FY + F0 − FμY − F0 ) T ]
= KE [( X − μ x )(Y − μY ) T ]F T
n ,1
DZZ = KDXX K T
设 ：
X 0 = [ X 10 , X 20 ,... X n0 ]T
n ,1
误差理论与测量平差基础
非线性函数线性化——泰勒级数展开
将Z按台劳级数在X0处展开： ∂f ∂f 0 0 0 0 0 Z = f (X 1 , X 2 , Xn ) + ( )0 ( X 1 − X 1 ) + ( )0 ( X 2 − X 2 ) ∂X 2 ∂X 1 ∂f ∂f 0 0 +( )0 ( X 2 − X 2 ) + ( ) 0 ( X n − X n ) + (二次以上项） ∂X n ∂X 2
= F D YY F
s ,r r ,r
r ,s
误差理论与测量平差基础
§3-2 协方差传播律
3.两个函数的互协协方差阵
Z = K X + K0
t ,1 t , n n ,1 t ,1
W = F Y + F0
s ,1 s , r r ,1 s ,1
定义Z与W之间的互协方差:
D ZW = E [( Z − E ( Z ))( W − E (W )) T ] = K DXY F
σ 1n ⎤ ⎥ σ 2n ⎥
⎥ 2 ⎥ σn ⎥ ⎦
2 2 ⎡σ 0 Q11 σ 0 Q12 ⎢ 2 σ 0 Q21 σ 02Q22 =⎢ ⎢ ⎢ 2 σ 0 Qn1 σ 02Qn 2 ⎢ ⎣
σ 02Q1n ⎤ ⎥ 2 σ 0 Q2 n ⎥
⎥ ⎥ 2 σ 0 Qnn ⎥ ⎦
DXX = σ QXX
2 0
σ h = Nσ 站
AB
若已知每公里观测高差中误差 σ 公里 ，则可根据AB间 的距离S 计算AB两点间观测高差的中误差： σ hAB = S σ 公里
误差理论与测量平差基础
§3-2 协方差传播律
课堂练习
作业： P7 3.3.24
§3-3 协方差传播律的应用
2.同精度独立观测值的算术平均值的精度
= K DXY FT
t.n n,r r,s
DWZ = E [(W − E (W ))( Z − E ( Z )) T ]
= E [( FY + F0 − FμY − F0 )( KX + K 0 − Kμ x − K 0 ) T ]
= FE [(Y − μY )( X − μ x ) T ]K T = F D YX K T
QXX为协因数阵
§3-5 协因数与协因数传播率
1、协因数与协因数阵
协因数阵的定义： 设有测值向量X、Y，已知 D,XX nn 定义：
∂f ∂f ∂f dZ = ( )0 dL + ( )0 dL2 + ( )0 dLn 1 ∂L1 ∂L2 ∂Ln
(3) 将微分关系写成矩阵 dZ = K ⋅ dL 形式， (4) 应用协方差传播律， DZZ = KDLL K T
误差理论与测量平差基础
§3-2 协方差传播律
课堂练习
DZZ = KDXX K T
C
误差理论与测量平差基础
§3-4 权与常用定权的方法
课堂练习
测量长度为s的距离(或高差) 的权： N次等精度重复测量算数平均 值的权：
c Ps = s
N PX = = N ⋅ p C
作业： P9 3.4.41 P10 3.4.43 3.4.44
3-5 协因数与协因数传播律
误差理论与测量平差基础
§3-5 协因数与协因数传播率
1、协因数与协因数阵
协因数的定义：
设Li , L j 它们的方差为σ i2 , σ 2 , 协方差为σ ij，定义 : j σ i2 1 σ i2 = σ 02 Q ii Q ii = = 2 pi σ0
Q jj
σj 1 = = 2 pj σ0
2
σ σ
2 j
= σ 02 Q jj = σ 02 Q ij
:
1
σ n2
误差理论与测量平差基础
§3-4 权与常用定权的方法
课堂练习
pi
σ = σ
2 0 2 i
§3-4 权与常用定权的方法
1.权的定义（续）
2 (一) 权的大小随σ 0 而变化，但权比不会发生变化。
2 (二) 选定了σ 0 ，即对应一组权。
（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较 精度的作用，一个问题只选一个σ0。 （四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。
1 3 13 1 n 1n n −1 n
2 DZZ = σ Z = KD XX K T
n −1, n
误差理论与测量平差基础
课堂练习
⎤ 设 Y = 2x1 − x2， = −x1 + 3x2 , D XX = ⎡ Z ⎢1 4⎥ , ⎣ ⎦ 2 2 求: σ Y 、 σ Z 。 3 1
§3-2 协方差传播律
Z = k1X1 + k2 X2 + + kn Xn + k0
K=[k k2 ... kn] Z = K X + k 0 1
1 ,1 1 , n n ,1 1 ,1
则
播 律 2 2 2 2 2 差 传kn2σ n2 + 2k1k2σ 12 DZZ = σ Z = k1 σ 1 +方σ 2 + + k2 协 + 2k k σ + + 2k k σ + 2k k σ +
下列各式中的 Li ( i = 1, 2,3)
均为等精度独立观
测值，其中误差为 σ ，试求X的中误差：
L1 L2 X= L3
§3-3 协方差传播律的应用
1.水准测量的精度
a1
1 (s)
a2 b1
2(s)
b2 a
b aN
bN
B
TP2 … TPN-1
N(s)
A
TP1
若已知每测站观测高差中误差σ 站 ，则可根据AB间的 测站数N 计算AB两点间观测高差的中误差：
Z = f (X1 , X 2 ,
0 0 n ∂f ∂f ∂f ∂f ) 0 X1 + ( )0 X 2 + ( )0 X n − ∑ ( )0 X i0 X )+( ∂X1 ∂X 2 ∂X n i =1 ∂X i 0 n
令
K = (k 1 , k 2 ,
0 0
kn ) = （ [
0 n
∂f ∂f ∂f ）（ , ） （ )0 ] 0 0 ∂X 1 ∂X 2 ∂X n
s.r r ,n n ,t
T D ZW = D WZ
课堂练习 在一个三角形中，同精度独立观测得到三 个内角L1、L2、L3，其中误差为σ，将闭合差平 均分配后各角的协方差阵。 设有函数，
Z = F1 X + F2 Y
t ,1 t , n n ,1
t , r r ,1
已知 DXX 、 DYY、 DXY 求 DZZ、 DZX 、 DZY
σ ij 1 Q ij = = 2 pi σ0
ji
误差理论与测量平差基础
§3-5 协因数与协因数传播率
1、协因数与协因数阵
协方差阵与协因数的关系：
2 σ 2 =σ 0 Qjj j
2 σ ij =σ 0 Qij
DXX
⎡ σ 12 σ 12 ⎢ 2 σ 21 σ 2 =⎢ ⎢ ⎢ ⎢σ n1 σ n 2 ⎣
离散型：
E( X ) =
E( X ) =
∑x
i =1
∞
i
pi
连续型：
∫
+∞
−∞
xf ( x ) dx
误差理论与测量平差基础
§3-1 数学期望的传播
2.数学期望的传播规律
1
设C为一常数，则
E (C ) = C
2
设C为一常数，X为一随机变量，则
E (CX ) = CE ( X )
3
设有随机变量X和Y，则
作业：P6 3.2.14，
§3-2 协方差传播律
4.非线性函数的情况
设有观测值X的非线性函数：
Z = f ( X ) = f ( X1, X 2 ,
已知： 求 ：
n ,1
Xn )
X = [ X 1 , X 2 ,... X n ]T , DXX
DZZ
思路： Z = [k 1 , k 2 ,
k n ] X + k0 = KX + k0
2
1 ⎞ + 2⎟ n ⎠
n
误差理论与测量平差基础
§3-3 协方差传播律的应用 σ σX =
课堂练习
n
已知距离AB=100m，丈量4次平均值的中误差为 2cm，若以同样精度丈量距离CD=900m，求 (1) 丈量CD1次的精度 (2) 丈量CD16次平均值的精度 (3) 求丈量AB4次和CD16次的相对中误差 作业： P7 3.3.24 P8 3.3.25
n i =1
k0 = f ( X 1 , X 2 ,
X )−∑(
∂f ) 0 X i0 ∂X i
Z = [k1 , k 2 , k n ] X + k0 = KX + k0
§3-2 协方差传播律
4.非线性函数的情况 协方差传播规律的运算规则
(1) 按要求写出函数式， (2) 对函数式求全微分，
Z = f ( L) = f ( L1 , L2 , Ln )
§3-4 权与常用定权的方法
1.权的定义
设 Li (i = 1, 2,..., n ), σ i2 , 若选定任一常数 σ 0，则定义 :
σ 02 pi = 2 σi
为观测值Li的权。权与方差成反比。
p1 : p 2 :
σ 02 σ 02 pn = 2 : 2 : σ1 σ 2
σ 02 1 1 : 2 = 2: 2: σ n σ1 σ 2
W1 = f11Y1 + f12Y2 + W2 = f21Y1 + f22Y2 + Ws = f s1Y1 + f s 2Y2 +
+ f1rY r+ f10 + f2rYr + f20 + f srY r+ f s0
T
D ZZ = K D XX K
t ,t t ,n n ,n
T
n ,t
D WW
s ,s
E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y )
4
若随机变量X和Y互相独立，则
E ( XY ) = E ( X ) E (Y )
误差理论与测量平差基础
第三章 协方差传播律及权
§3-2 协方差传播律
误差理论与测量平差基础
§3-2 协方差传播律
1.观测值线性函数的方差
设观测值向量 X ，其数学期望 μ X ，协方差阵 D XX 又设
L1 + L2 + X= n DXX + Ln
2
1 1 X = L1 + L2 + n n
2
1 + Ln n
⎛1⎞ 2 ⎛1⎞ 2 = ⎜ ⎟ σ +⎜ ⎟ σ + ⎝n⎠ ⎝n⎠
⎛1⎞ 2 +⎜ ⎟ σ ⎝n⎠
2
等精度观测
1 ⎛ 1 =σ ⎜ 2 + 2 + n ⎝n 1 2 = σ n σ σX =
2.单位权中误差
σ 02 pi = 2 ห้องสมุดไป่ตู้i
σ 0：单位权中误差
单位权观测值：权等于1的观测值。
误差理论与测量平差基础
§3-4 权与常用定权的方法
3.常用定权方法
水准测量（距离测量）的权
c p = s
或
c p = N
同精度观测算术平均值的权 σ σX = N N PX = = N ⋅ p C σ σ0 = ( p : 观测一次的权）
T
DWZ
= E [(W − E (W差Z − E ( Z )) T ] 协 方 ))(
T D ZW = D WZ
播律 传
t.n n,r
r,s
T
= F DYX K
s. r r ,n
n ,t
误差理论与测量平差基础
课堂练习 1，设 Y = 2x1 − x2 ，= −x1 + 3x2 Z 已知 F = Y + Z ，求 ， D XX = ⎡3 1⎤ , ⎢1 4⎥
第三章 协方差传播率及权
第一节 数学期望的传播 第二节 协方差传播率 第三节 权与定权的常用方法 第四节 协因数与协因数传播率 第五节 由真误差计算中误差及其应用 第六节 系统误差的传播
第三章 协方差传播律及权
§3-1 数学期望的传播
误差理论与测量平差基础
§3-1 数学期望的传播
1.数学期望的定义
2.多个观测值线性函数的协方差阵
Z = K X + K0
t ,1 t , n n ,1 t ,1
W = F Y + F0
s ,1 s , r r ,1 s ,1
Z1 = k11X1 + k12X2 + + k1n Xn + k10 Z2 = k21X1 + k22X2 + + k2n Xn + k20 Zt = kt1X1 + kt 2 X2 + + ktn Xn + kt 0