高中数学不等式的恒成立、能成立、恰成立问题

专题：不等式的“恒成立”、“能成立”、“恰成立”问题

不等式恒成立问题

若不等式A x f >)(在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上A x f >min )]([ 若不等式B x f <)(在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上B x f

当)(x f 的最值取不到时，注意表达要准确，如1)(恒成立⇔1≥m 不等式中能成立．．．

问题（有解） 若在区间D 上存在实数X 使不等式A x f >)(成立，则等价于在区间D 上A x f >max )]([ 若在区间D 上存在实数X 使不等式B x f <)(成立，则等价于在区间D 上B x f

若不等式A x f >)(在区间D 上恰成立,则等价于不等式A x f >)(的解集为D 若不等式B x f <)(在区间D 上恰成立,则等价于不等式B x f <)(的解集为D 利用一次函数的性质

对于一次函数]),[)(0()(n m x a b ax x f ∈≠+=有：①0)(>x f 恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0

)(n f m f ②0)(

⎩⎨

⎧<<⇔0

)(0

)(n f m f 结论：若一个不等式中有两个变量，如果已知最高次数是一次变量的范围求另一变量范围的问题构造一次函数

例：已知1log 6log )1()(32

3++⋅--=x a x a x x f ,当]1,0[∈x 时，)(x f 恒为正数，求a 的取值范围。[333

1<

变式：当]4,2[∈x 时，若不等式042)2(2

<-+-a a x 恒成立，求实数a 的范围()1,2-∈a

变式：已知定义在R 上的奇函数()f x 在()0,+∞上是增函数且(1)(2)f ax f x +≤+对任意1,12x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

都成立，则实数a 的取值范围 (]2,∞- 利用二次函数的判别式

对于二次函数),0()(2

R x a c bx ax x f ∈≠++=有①0)(>x f 恒成立⎩

⎨⎧<-=∆>⇔040

2

ac b a

②0)(

⎧<-=∆<⇔0

40

2

ac b a

结论：若一个不等式中有两个变量，如果已知高次变量的范围求另一变量范围的问题构造高次函数或分离参数。

例：已知不等式03)1(4)54(2

2

>+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，求参数m 的取值范围。[191<≤m ]

变式：若不等式

01

20

822<--+-mx mx x x 对一切R x ∈恒成立，求实数m 的取值范围。(]0,4-∈m

变式：)8(log )(2

3+-=ax x x f 定义域为R ，则a 的范围_____。值域为R ，则a 的范围_____。

利用二次函数在区间上恒成立的充要条件

设)0()(2

>++=a c bx ax x f 则①0)(>x f 在区间[],βα上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<-=∆∈-⇔04],[22ac b a b

βα或⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>>∉-0)(0)(],[2βαβαf f a b

②

0)(

⎨

⎧<<0)(0

)(βαf f 例：已知不等式m x m x m >+-+-3)1()1(2

在]2,2[-∈x 上恒成立，求m 的取值范围。[7

9

变式1：设22)(2

+-=ax x x f 当]2,1[-∈x 时，a x f ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围。[]1,3-∈a

变式2：若不等式1)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞上恒有意义，则实数m 的取值范围是_____。

变式3：若不等式a y x y x ++≥+242

2

对任意实数y x ,都成立，则实数a 的取值范围为___。

变式4：关于x 的不等式05)1(2

4

>+-+x m x 对于任意的R x ∈恒成立，求实数m 的取值范围。

主参移位法

对于一些含参数但参数可以分离出来的不等式，可以变换主元，反客为主，借参数的取值范围求得结果。 例：设不等式)1(122

->-x m x 对满足2≤m 的一切实数m 都成立，求实数x 的取值范围。

[

2

1

321

7+<<-x ] 变式：对于区间[0，4]上的一切实数p, 不等式342

-+>+p x px x 恒成立，试求x 的取值范围。),3()1,(+∞⋃--∞

最值法（或分离参数法）

将所求参数从原不等式中分离出来，分离的常见情形有：)(x f a ≥或)(x f a ≤,若)(x f a ≥对D x ∈恒成立，则

min )(x f a ≥;若)(x f a ≤对D x ∈恒成立,则min )(x f a ≤

例：已知不等式0442

≥+-a x ax 在区间),0(+∞上恒成立，求实数a 的取值范围。[1≥a ]

变式：当02x ≤≤ 时，2

20x x a -+<恒成立，则a 的取值范围。（0a < ）

变式：已知函数x

a

x x x f -+=2)(2，若对任意),1[+∞∈x ,0)(>x f 恒成立,求实数a 的取值范围。)3(

变式、)2(log )(x

a a x f -=在[0，1]恒为减函数的a 的范围。（0，1） （1，2）

变式、)2(log )(ax x f a -=在（0，1）恒为减函数的a 的范围。（1，2]

变式、)(log )(2

2

1a ax x x f +-=在[2，+)∞恒为减函数，则a 范围。（)4

变式：要使124x

x

y a =++在(],1x ∈-∞上时，0y >恒成立，求a 的范围。 （34

a >-

）

变式：已知()22()x

x

f x k k R -=+⋅∈ （1）若()f x 为奇，求k [1k =- ]（2）若对任意[)0,x ∈∞都有