第1讲 绝对值不等式

第1讲绝对值不等式

一、知识梳理

1．绝对值三角不等式

定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

2．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|a的解集

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．

3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．

法二：利用“零点分区间法”求解，体现了分类讨论的思想．

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

常用结论

1．两个等价关系

(1)|x|0)．

(2)|x|>a⇔x<－a或x>a(a>0)．

2．掌握一组主要关系

|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系：

(1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当a>－b>0时，等号成立．

(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立．

二、习题改编

1．(选修4-5P20习题T7改编)不等式3≤|5－2x|<9的解集为________．

解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9，

|2x －5|≥3，

即⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<9，

2x －5≥3或2x －5≤－3， 解得⎩

⎪⎨⎪⎧－2

所以不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)． 答案：(－2，1]∪[4，7)

2．(选修4-5P20习题T8改编)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是________．

解析：①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2，所以－4<2，不等式恒成立，所以x ≤1；

②当1

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( )

(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立．( ) (5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏

常见误区|Ｋ(1)含参数的绝对值不等式讨论不清； (2)存在性问题不能转化为最值问题求解．

1．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________．

解析：因为|kx －4|≤2，所以－2≤kx －4≤2，所以2≤kx ≤6.因为不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，所以k ＝2.

答案：2

2．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．解析：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，

所以|x＋1|＋|x－2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3.

答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)

[学生用书P254]

含绝对值不等式的解法(师生共研)

(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|·(x－a)．

(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；

(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．

【解】(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．

当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；

当x≥1时，f(x)≥0.

所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．

(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.

当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0.

所以，a的取值范围是[1，＋∞)．

绝对值不等式常见的3种解法

(1)零点分段讨论法

含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段讨论法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)，一般步骤如下：

①令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根；

②将这些根按从小到大排序，它们把实数集分为若干个区间；

③在所分的各区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，求所得的各不等式在相应区

间上的解集；

④这些解集的并集就是原不等式的解集． (2)利用绝对值的几何意义

由于|x －a |＋|x －b |与|x －a |－|x －b |分别表示数轴上与x 对应的点到与a ，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x －a |＋|x －b |0)或|x －a |－|x －b |>c (c >0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．

(3)数形结合法

在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解． [提醒] 用零点分段法和几何意义求解绝对值不等式时，去绝对值符号的关键点是找零点，将数轴分成若干段，然后从左到右逐段讨论．

1．设函数f (x )＝|x ＋4|.

(1)若y ＝f (2x ＋a )＋f (2x －a )的最小值为4，求a 的值； (2)求不等式f (x )>1－1

2x 的解集．

解：(1)因为f (x )＝|x ＋4|，

所以y ＝f (2x ＋a )＋f (2x －a )＝|2x ＋a ＋4|＋|2x －a ＋4|≥|2x ＋a ＋4－(2x －a ＋4)|＝|2a |， 又y ＝f (2x ＋a )＋f (2x －a )的最小值为4. 所以|2a |＝4，所以a ＝±2.

(2)f (x )＝|x ＋4|＝⎩⎪⎨⎪

⎧x ＋4，x >－4，

0，x ＝－4，－4－x ，x <－4，

所以不等式f (x )>1－1

2

x 等价于

⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4>1－1

2

x （x >－4），

0>1－1

2x （x ＝－4），－4－x >1－12

x （x <－4），

解得x >－2或x <－10，故不等式f (x )>1－1

2

x 的解集为{x |x >－2或x <－10}．