数学建模3传染病模型 ppt课件
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越来越小，最终趋于 ，零 这是由于传染期内 经有效接触从而使健 者康 变成的病人数不超 过原来病人数的缘故。
SI模型可视为本模型的特例，请读者考虑 它相当于本模型中或取何值的情况。
数学建模3传染病模型
模型4（SIR模型） 大多数传染病如 天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很 强的免疫力，所以病愈的人即非健康者 （易感染者），也非病人（已感染者）， 他们已经退出传染系统。这种情况比较复 杂，下面将详细分析建模过程。
传染病模型
随着卫生设施的改善、医疗水平的提 高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、 天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得 到有效的控制。但是一些新的、不断变异 着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪 80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球， 至今带来极大的危害。长期以来，建立制 止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关 专家和官员关注的课题。
模型假设
1.总人数N不变。人群分为健康者、病人 和病愈免疫的移出者（Removed）三类， 称SIR模型。三类人在总数N中占的比例分 别记作s(t),i(t)和r(t)。
数学建模3传染病模型
病人的日接触率为，日治愈率为（与SI 模型相同），传染期接触为 =/。 模型构成
由假设1显然有
s(t)+i(t)+r(t)=1
d t
i( 0 ) i0
( 9 )
我们不去求解方程（9）（虽然它的解 可以解析地表出），而是通过图形分析i(t) 的变化规律。定义
( 1)0
数学建模3传染病模型
注意到λ和1/的含义，可知是整个传染 期内每个病人有效接触的平均人数，称 为接触数。
利用，方程（9）可以改写作
d dti i i 1 1
3．每天被治愈的病人数占病人总数 的比例为常数μ，称为日治愈率，病人治 愈后成为仍可被感染的健康者。显然1/μ 是这种传染病的平均传染期。
数学建模3传染病模型
不难看出，考虑到假设3，SI模型的（3） 式应修正为
N d i N sN i i d t
(8 )
（4）式不变，于是（5）式应改为
d ii( 1 i)i,
数学建模3传染病模型
不同类型传染病的传播过程有其各自
不同的特点，弄清这些特点需要相当多的 病理知识，这里不可能从医学的角度一一 分析各种传染病的传播，而只是按照一般 的传播模型机理建立几种模型。
模型1 在这个最简单的模型中，设时 刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数，
并且每天每个接 病触 人 (足有 使效 人)致
(12)
根据条件2方程（8）仍然成立。对于病愈 免疫的移出者而言有
NdrNi
dt
数学建模3传染病模型
(1)3
再记初始时刻的健 和康 病者 人的比例分别 s0(s0 0)和i0(i0 0) (不妨设移出者的初始 r0 0)，则由 (8),(12),(13)式，SIR模型的方程 可以写作
dddtisssii,i,
数学建模3传染病模型
这时病人增加的最快，可以认为是医院 的门诊量最大的一天，预示着传染病高 潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。 tm与成反比，因为日接触 表率示该地区的 卫生水平，越小卫生水平越高。 以所 改善
保健设施、提高卫平 生可 水以推迟传染病高 潮的到来。第二，t当 时i 1,即所有 人终将被传染，全病 变人 为，这显然不符合 实际情况。
2.每个病人每天有效接触的平均人数 是常数，称为日接触率。当病人与健康 者接触时，使健康者受感染变为病人。
数学建模3传染病模型
根据假设，每个 天病 可人 使 s(每 t)个健康
变为病人，因为 为病 N(it人 )，数 所以每天
有Ns(t)i(t)个健康者被感染N，s就 i于是 是
病人数 N的 i 增加率，即有
N diNsi
(3 )
又因为
dt
s ( t ) i ( t ) 1
( 4 )
再记初 (t0 始 )病时 人刻 的 i， 比 则 例 0
d ii(1 i), i(0 ) i
d t
0
(5 )
数学建模3传染病模型
方程（5）是Logistic模型。它的解为
1
i(t)
(6)
Baidu Nhomakorabea11
1e
t
i0
i(t)~t和 di~i的图1和 形2所 图 如示 图。 dt
(1)1
由方 (1)容 1程易d 先 i~i的 画图 (出 图 3， 形 5)图 ， dt
再画 i~t的 出图 (图 4， 形 6)图 。
数学建模3传染病模型
不难看出，接触数=1是一个阈值。
当 1时i(t)的增减性取决i0于 的大小(见图4）， 但其极限值 i() 1 1随的增加而增(加 试
从的含义给以解)； 释当 1时病人比例 i(t)
限增长，这显然是不符合实际的。
建模失败的原因在于：在病人有效接
触的人群中，有健康人也有病人，而其中
只有健康人才可以被传染为病人，所以在 改进的模型中必须区别这两种人。
数学建模3传染病模型
模型2（SI模型） 假设条件为
1.在疾病传播期内所考察地区的总人 数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。 人群分为易感染者（Susceptible）和已感 染者（Infective）两类（取两个词的第一 个字母，称之为SI模型），以下简称健康 者和病人。时刻t这两类人在总人数中所 占比例分别记作s(t)和i(t)。
其原因是模型中没有考虑到病人可以治 愈，人群中的健康者只能变成病人，病 人不会再变成健康者。
数学建模3传染病模型
模型3（SIS模型） 有些传染病如伤 风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定 无免疫性，于是病人被治愈后变成健康 者，健康者还可以被感染再变成病人， 所以这个模型称SIS模型。
SIS模型的假设条件1，2与SI模型相 同，增加的条件为
dt
i(0)i0 s(0)s0
(14)
方程（14）无法求出s(t) 和i(t)的解析解， 我们先作数值计算。
数学建模3传染病模型
的人数为常 考数 察 t到tt病人人数
增加，就有
x ( t t) x ( t) x ( t)t
数学建模3传染病模型
再设 t 0时有 x0有个病人，即得 程微分
dx x, x(0 )x
(1 )
dt
0
方程（1）的解为
x ( t ) x e t 0
( 2 )
结果表明，随着t的增加，病人人数x(t)无
SI模型可视为本模型的特例，请读者考虑 它相当于本模型中或取何值的情况。
数学建模3传染病模型
模型4（SIR模型） 大多数传染病如 天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很 强的免疫力，所以病愈的人即非健康者 （易感染者），也非病人（已感染者）， 他们已经退出传染系统。这种情况比较复 杂，下面将详细分析建模过程。
传染病模型
随着卫生设施的改善、医疗水平的提 高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、 天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得 到有效的控制。但是一些新的、不断变异 着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪 80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球， 至今带来极大的危害。长期以来，建立制 止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关 专家和官员关注的课题。
模型假设
1.总人数N不变。人群分为健康者、病人 和病愈免疫的移出者（Removed）三类， 称SIR模型。三类人在总数N中占的比例分 别记作s(t),i(t)和r(t)。
数学建模3传染病模型
病人的日接触率为，日治愈率为（与SI 模型相同），传染期接触为 =/。 模型构成
由假设1显然有
s(t)+i(t)+r(t)=1
d t
i( 0 ) i0
( 9 )
我们不去求解方程（9）（虽然它的解 可以解析地表出），而是通过图形分析i(t) 的变化规律。定义
( 1)0
数学建模3传染病模型
注意到λ和1/的含义，可知是整个传染 期内每个病人有效接触的平均人数，称 为接触数。
利用，方程（9）可以改写作
d dti i i 1 1
3．每天被治愈的病人数占病人总数 的比例为常数μ，称为日治愈率，病人治 愈后成为仍可被感染的健康者。显然1/μ 是这种传染病的平均传染期。
数学建模3传染病模型
不难看出，考虑到假设3，SI模型的（3） 式应修正为
N d i N sN i i d t
(8 )
（4）式不变，于是（5）式应改为
d ii( 1 i)i,
数学建模3传染病模型
不同类型传染病的传播过程有其各自
不同的特点，弄清这些特点需要相当多的 病理知识，这里不可能从医学的角度一一 分析各种传染病的传播，而只是按照一般 的传播模型机理建立几种模型。
模型1 在这个最简单的模型中，设时 刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数，
并且每天每个接 病触 人 (足有 使效 人)致
(12)
根据条件2方程（8）仍然成立。对于病愈 免疫的移出者而言有
NdrNi
dt
数学建模3传染病模型
(1)3
再记初始时刻的健 和康 病者 人的比例分别 s0(s0 0)和i0(i0 0) (不妨设移出者的初始 r0 0)，则由 (8),(12),(13)式，SIR模型的方程 可以写作
dddtisssii,i,
数学建模3传染病模型
这时病人增加的最快，可以认为是医院 的门诊量最大的一天，预示着传染病高 潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。 tm与成反比，因为日接触 表率示该地区的 卫生水平，越小卫生水平越高。 以所 改善
保健设施、提高卫平 生可 水以推迟传染病高 潮的到来。第二，t当 时i 1,即所有 人终将被传染，全病 变人 为，这显然不符合 实际情况。
2.每个病人每天有效接触的平均人数 是常数，称为日接触率。当病人与健康 者接触时，使健康者受感染变为病人。
数学建模3传染病模型
根据假设，每个 天病 可人 使 s(每 t)个健康
变为病人，因为 为病 N(it人 )，数 所以每天
有Ns(t)i(t)个健康者被感染N，s就 i于是 是
病人数 N的 i 增加率，即有
N diNsi
(3 )
又因为
dt
s ( t ) i ( t ) 1
( 4 )
再记初 (t0 始 )病时 人刻 的 i， 比 则 例 0
d ii(1 i), i(0 ) i
d t
0
(5 )
数学建模3传染病模型
方程（5）是Logistic模型。它的解为
1
i(t)
(6)
Baidu Nhomakorabea11
1e
t
i0
i(t)~t和 di~i的图1和 形2所 图 如示 图。 dt
(1)1
由方 (1)容 1程易d 先 i~i的 画图 (出 图 3， 形 5)图 ， dt
再画 i~t的 出图 (图 4， 形 6)图 。
数学建模3传染病模型
不难看出，接触数=1是一个阈值。
当 1时i(t)的增减性取决i0于 的大小(见图4）， 但其极限值 i() 1 1随的增加而增(加 试
从的含义给以解)； 释当 1时病人比例 i(t)
限增长，这显然是不符合实际的。
建模失败的原因在于：在病人有效接
触的人群中，有健康人也有病人，而其中
只有健康人才可以被传染为病人，所以在 改进的模型中必须区别这两种人。
数学建模3传染病模型
模型2（SI模型） 假设条件为
1.在疾病传播期内所考察地区的总人 数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。 人群分为易感染者（Susceptible）和已感 染者（Infective）两类（取两个词的第一 个字母，称之为SI模型），以下简称健康 者和病人。时刻t这两类人在总人数中所 占比例分别记作s(t)和i(t)。
其原因是模型中没有考虑到病人可以治 愈，人群中的健康者只能变成病人，病 人不会再变成健康者。
数学建模3传染病模型
模型3（SIS模型） 有些传染病如伤 风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定 无免疫性，于是病人被治愈后变成健康 者，健康者还可以被感染再变成病人， 所以这个模型称SIS模型。
SIS模型的假设条件1，2与SI模型相 同，增加的条件为
dt
i(0)i0 s(0)s0
(14)
方程（14）无法求出s(t) 和i(t)的解析解， 我们先作数值计算。
数学建模3传染病模型
的人数为常 考数 察 t到tt病人人数
增加，就有
x ( t t) x ( t) x ( t)t
数学建模3传染病模型
再设 t 0时有 x0有个病人，即得 程微分
dx x, x(0 )x
(1 )
dt
0
方程（1）的解为
x ( t ) x e t 0
( 2 )
结果表明，随着t的增加，病人人数x(t)无