有限元空间问题
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V L1 = 1 V V3 V2 L2 = L3 = V V L4 = V4 V
V=
1 1 1 x1 x2 6 y1 z1 y2 z2
1 1 x3 x 4 y3 y 4 z3 z 4
式中，V为四面体1234的体积，V1、V2、V3、 V4分别为四面体P234、P341、P412、P123 的体积；L1、L2、L3、L4为P点的体积坐标。 显然，V1+V2+V3+V4=V，因此有 L1+L2+L3+L4=1 直角坐标与体积坐标之间，符合下列关系：
∂w εz = ∂z
物理方程：
1 εr = ⎡ σ r − μ (σ θ + σ z ) ⎤ ⎣ ⎦ E 1 εθ = ⎡ σ θ − μ (σ r + σ z ) ⎤ ⎣ ⎦ E 1 εz = ⎡ σ z − μ (σ r + σ θ ) ⎤ ⎣ ⎦ E 1 γ rz = τ rz G
5.4.2 三节点三角形轴对称单元（环形单元）
（2）基本方程
平衡方程：
⎧ ∂σ r ∂τ rz σ r − σ θ + + + br = 0 ⎪ ⎪ ∂r r ∂z ⎨ ⎪ ∂σ z + ∂τ rz + τ rz + b = 0 z ⎪ r ∂r ⎩ ∂z
几何方程：
∂ur ur εr = εθ = ∂r r ∂ur ∂w + γ rz = ∂z ∂r
e e
]
T T
P =⎡ ⎣ Px1 Py1 Pz1 Px 2 Py 2 Pz 2 Px 3 Py 3 Pz 3 Px 4 Py 4 Pz 4 ⎤ ⎦
（2）单元位移场的表达 根据节点条件个数，选取位移模式为：
u ( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y + a4 z v( x, y ) = b1 + b2 x + b3 y + b4 z w( x, y ) = c1 + c2 x + c3 y + c4 z
（4）单元刚度矩阵及节点荷载矩阵 在获得几何函数矩阵Be后，可以由刚度矩阵公式 得到计算单元的刚度矩阵为：
K e = ∫ B eT D e B e d Ω
Ω
节点等效荷载矩阵为：
P e = ∫ N eT bd Ω + ∫ N eT pdS
Ω Sp
（5）单元刚度方程 由最小势能原理得到单元刚度方程：
ur (r , z ) = a1 + a2 r + a3 z w(r , z ) = b1 + b2 r + b3 z
该模式与平面问题三节点三角形单元相同，由 节点条件可以推出相同的形状函数矩阵：
⎡ur 1 ⎤ ⎢w ⎥ ⎢ 1⎥ ⎡u (r , z ) ⎤ ⎡ N1 0 N 2 0 N 3 0 ⎤ ⎢ur 2 ⎥ e e N r z = = ( , ) δ (r , z ) = ⎢ δ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ w(r , z ) ⎦ ⎣ 0 N1 0 N 2 0 N 3 ⎦ ⎢ w2 ⎥ ⎢u ⎥ ⎢ r3 ⎥ ⎢ ⎣ w3 ⎥ ⎦
V为四面体的体积
（3）单元应变场的表达 由弹性力学的几何方程有：
⎡ε x ⎤ ⎡∂ ∂x 0 0 ⎤ ⎢ε ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ∂ ∂y ⎢ y ⎥ ⎢0 u ( x , y , z ) ⎡ ⎤ ⎢ε z ⎥ ⎢ 0 0 ∂ ∂z ⎥ ⎢ ⎥ ε ( x, y ) = ⎢ ⎥ = ⎢ v ( x , y , z ) ⎥⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢γ xy ⎥ ⎢∂ ∂y ∂ ∂x ⎢ w( x, y, z ) ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ∂ ∂z ∂ ∂y γ yz ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢γ ⎥ ⎣∂ ∂z 0 x ∂ ∂ ⎦ ⎣ zx ⎦ e = B ( x, y , z ) ⋅ δ
环向应变εθ中包含了坐标r和z，不是常量， 但其他应变分量都使常量。
三、单元应力 由物理方程可得：
εr = εθ = εz = γ rz =
σr σθ σz τ rz
G E E E
− − −
μσ θ μσ r μσ r
E E E
− − −
μσ z μσ z μσ θ
E E E
⎡ ⎢ 1 ⎢ ⎢ μ E (1 − μ ) ⎢ 1 − μ ⎢ D= (1 + μ )(1 − 2μ ) ⎢ μ ⎢1 − μ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣
该单元为横截面为三节点三角形的360°环形单元。
一、位移函数 该单元为绕z轴的环形单元，在rz平面内，其节 点位移和节点力为：
δ = [ur1 w1 ur 2 w2 ur 3 w3 ]
e e
T T
P = [ Pr1 Pz1 Pr 2 Pz 2 Pr 3 Pz 3 ]
位移条件，所以设位移模式为：
由于是三个节点，在X方向和Y方向有两个节点
= ∫ B eT D e B e 2π rdrdz
A
由于被积函数中包含了坐标r和z，积分不能简 单地求出，为了避免复杂的积分运算，并消除 对称轴上r=0所引起的麻烦，可把每个单元中的 r和z近似地当作常量，取为：
r=
ri + rj + rm 3
,z =
zi + z j + zm 3
⎡ kii kij kim ⎤ ⎢ ⎥ T [ K ] = 2π rA [ B ] [ D ][ B ] = ⎢ k ji k jj k jm ⎥ ⎢k k k ⎥ ⎣ mi mj mm ⎦
1 1 1 a1 = − y2 y3 y4 z2 z3 z4 1 1 1 b1 = − x2 x3 x4 z2 z3 z4 1 1 1 c1 = − x2 x3 x4 y2 y3 y4
对上节所述常应变四面体单元，所采用的形函数 也可用体积坐标表示如下：
N1 = L1 , N 2 = L2 , N 3 = L3 , N 4 = L4
5.4 空间轴对称问题及其单元的构造
如果空间结构的几何形状、约束条件及载荷分 布都对称于某个轴，则其位移、应变和应力等 也对称于该轴而与轴向坐标无关，这种情形称 为空间轴对称问题。一般习惯采用圆柱坐标系 (r,θ , z)描述空间轴对称问题，其中z 轴为对称 轴。结构内的位移、应变和应力只是r 和z 的函 数，而与θ 无关，因此数学上是二维问题。
μ
1− μ 1
μ
1− μ
μ
1− μ 1 0
μ
1− μ 0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 − 2μ ⎥ 2(1 − μ ) ⎥ ⎦ 0
四、单元刚度矩阵 由势能表达式得到刚度矩阵Ke：
K = ∫ B D B d Ω = ∫ ∫ B eT D e B e rdθ drdz
e eT e e Ω A 0 2π
求体积坐标的幂函数在四面体单元上的积分 时，可应用下列公式：
a !b !c !d ! L L L L dxdydz = 6V ∫∫∫ ( a + b + c + d + Байду номын сангаас) V
a b c d 1 2 3 4
5.3 等效节点荷载
按静力等效原则利用公式 R e = N T P ，把作用 在单元上的荷载转换成节点荷载。
B=⎡ ⎣ Bi B j Bm ⎤ ⎦
⎡∂N i ∂r ⎢ N r i ⎢ Bi = ⎢ 0 ⎢ ⎣∂N i ∂r ai hi = + bi + ci r
⎤ ⎡bi 0 ⎤ ⎥ 0 ⎥ 1 ⎢ hi 0 ⎥ ⎢ ⎥ = ∂N i ∂z ⎥ 2 A ⎢ 0 ci ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ∂N i ∂z ⎦ ⎣ci bi ⎦ z r 0
⎧ L1 ⎫ ⎪L ⎪ ⎪ 2⎪ 1 ⎨ ⎬= ⎪ L3 ⎪ 6V ⎪ ⎩ L4 ⎪ ⎭ ⎡V1 a1 ⎢V a ⎢ 2 2 ⎢V3 a3 ⎢ ⎣V4 a4 b1 c1 ⎤ ⎧1 ⎫ ⎥⎪ ⎪ b2 c 2 ⎥ ⎪x ⎪ ⎨ ⎬ b3 c 3 ⎥ ⎪ y ⎪ ⎥⎪ ⎪ b4 c 4 ⎦ ⎩ z ⎭
式中，ai、bi、ci分别为表面i（角点i对面的表 面）在x、y、z平面上的投影面积。实际上是V 矩阵的相应于坐标xi、yi、zi的余子式，如：
5.4.1 空间轴对称问题基本方程 （1）基本变量
对于轴对称问题，在柱坐标中的三大类力学变量为：
位移 :
ur w (uθ = 0)
应变：ε r εθ ε z γ rz (γ zθ = γ rθ = 0)
应 力 ：σ r σ θ σ z τ rz (τ zθ =τ rθ = 0)
由于是轴对称问题，所以以上力学量只是r和z的函数， 与θ无关。
K
e
(12×12)
⋅δ
e
(12×1)
=P
e
(12×1)
讨论：由前面几何矩阵Be的计算公式可知, Be 中的元素都是常量，因此单元中的应变也都是 常量。故采用线性位移模式的四面体单元是常 应变单元。
5.2 四面体的体积坐标
用于空间问题的高次四面体单元，如采用体积 坐标可简化计算公式。在四面体单元1234中， 任意一点P的位置可用下列比值来确定：
⎧1 ⎫ ⎡1 1 1 ⎪x ⎪ ⎢x x x ⎪ ⎪ ⎢ 1 2 3 = ⎨ ⎬ ⎢ ⎪ y ⎪ ⎢ y1 y2 y3 ⎪z ⎭ ⎪ ⎣ z1 z2 z3 ⎩ 1 x4 ⎤ ⎧ L1 ⎫ ⎥ ⎪L ⎪ 2⎪ ⎥⎪ ⎨ ⎬ y 4 ⎥ ⎪ L3 ⎪ ⎥⎪ ⎪ z 4 ⎦ ⎩ L4 ⎭
对上式求逆，可用直角坐标表示体积坐标如下：
1 Ni = ( ai + bi r + ci z ) 2A
(i, j , m)
ai = rj zm − rm z j , bi = z j − zm , ci = −rj + rm
1 ri 2 A = 1 rj 1 rm zi zj zm
二、单元应变 由几何方程可推出几何矩阵Be：
⎡ε r ⎤ ⎡∂ ∂r 0 ⎤ ⎢ε ⎥ ⎢ ⎥ u (r , z ) 1 r 0 ⎡ ⎤ θ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ = ε (r , z ) = ⎥ ⎢ε z ⎥ ⎢ 0 ∂ ∂z ⎥ ⎢ v ( r , z ) ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣γ rz ⎦ ⎣∂ ∂r ∂ ∂z ⎦ ⎡∂ ∂r 0 ⎤ ⎢1r ⎥ N1 0 N 2 0 N 3 0 ⎤ e 0 ⎡ ⎥ =⎢ ⋅δ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ∂ ∂z ⎥ ⎣ 0 N1 0 N 2 0 N 3 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣∂ ∂r ∂ ∂z ⎦ = B e (r , z ) ⋅ δ e
节点位移条件：
u ( xi , yi , zi ) = ui ⎫ ⎪ v( xi , yi , zi ) = vi ⎬ w( xi , yi , zi ) = wi ⎪ ⎭
(i = 1, 2,3, 4)
由节点条件可得到待定系数，再将系数代入位
移模式得到位移模式并写成矩阵形式：
⎡u ⎤ ⎥ δ ( x, y ) = ⎢ v ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ w⎥ ⎦ ⎡ N1 0 0 N 2 0 0 N 3 0 0 N 4 0 0 ⎤ e δ =⎢ ⎥ ⎣ 0 0 N1 0 0 N 2 0 0 N 3 0 0 N 4 ⎦ = N ( x, y )δ e 其中 1 Ni = (ai + bi x + ci y + di z ) (i = 1, 2,3, 4) 6V
边界面上线性分布荷载的等效荷载 1）边界面ijm作用线性分布荷载，i处的强度 是qi，j、m节点处强度为零
p 1 ⎧ ⎪ R j = 4 = 12 qi Aijm ⎪ 1 ⎪ Rp = 0 ⎨ Rm = qi Aijm 12 ⎪ 1 ⎪ ⎪ Ri = p − R j − Rm = 6 qi Aijm ⎩
第五章
连续体空间问题
5.1 常应变四面体单元
该单元是由四个节点组成四面体单元，每个结点 的位移有三个分量u 、v 和w，单元的节点和节点 位移如图所示。
（1）单元节点位移和节点力描述 四面体单元节点位移δe和节点力Pe为：
δ = [u1 v1 w1 u2 v2 w2 u3 v3 w3 u4 v4 w4
均布体积力的等效荷载
⎧ X 1e ⎫ ⎪ e⎪ ⎪Y1 ⎪ ⎪Z e ⎪ ⎪ 1 ⎪ e⎪ ⎪X2 ⎪ e⎪ ⎪Y2 ⎪ ⎪ e⎪ T ⎪Z 2 ⎪ 1 ⎡ ⎤ = Q Q Q Q Q Q Q Q Q ⎨ e⎬ x y z x y z⎦ ⎣ x y z 4 X ⎪ 3⎪ ⎪Y e ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ Z 3e ⎪ ⎪ e⎪ ⎪X4 ⎪ ⎪ e⎪ ⎪Y4 ⎪ ⎪Z e ⎪ ⎩ 4⎭
2）边界面ijm作用线性分布荷载，i、 j、m 处的强度是qi、qj、qm
⎧ 1⎛ 1 1 ⎞ ⎪ Ri = 6 ⎜ qi + 2 q j + 2 qm ⎟ Aijm ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 1⎛1 1 ⎞ ⎪ R j = ⎜ qi + q j + qm ⎟ Aijm 6⎝2 2 ⎠ ⎨ ⎪ 1⎛1 1 ⎞ ⎪ Rm = ⎜ qi + q j + qm ⎟ Aijm 6⎝2 2 ⎠ ⎪ ⎪R = 0 ⎩ p
V=
1 1 1 x1 x2 6 y1 z1 y2 z2
1 1 x3 x 4 y3 y 4 z3 z 4
式中，V为四面体1234的体积，V1、V2、V3、 V4分别为四面体P234、P341、P412、P123 的体积；L1、L2、L3、L4为P点的体积坐标。 显然，V1+V2+V3+V4=V，因此有 L1+L2+L3+L4=1 直角坐标与体积坐标之间，符合下列关系：
∂w εz = ∂z
物理方程：
1 εr = ⎡ σ r − μ (σ θ + σ z ) ⎤ ⎣ ⎦ E 1 εθ = ⎡ σ θ − μ (σ r + σ z ) ⎤ ⎣ ⎦ E 1 εz = ⎡ σ z − μ (σ r + σ θ ) ⎤ ⎣ ⎦ E 1 γ rz = τ rz G
5.4.2 三节点三角形轴对称单元（环形单元）
（2）基本方程
平衡方程：
⎧ ∂σ r ∂τ rz σ r − σ θ + + + br = 0 ⎪ ⎪ ∂r r ∂z ⎨ ⎪ ∂σ z + ∂τ rz + τ rz + b = 0 z ⎪ r ∂r ⎩ ∂z
几何方程：
∂ur ur εr = εθ = ∂r r ∂ur ∂w + γ rz = ∂z ∂r
e e
]
T T
P =⎡ ⎣ Px1 Py1 Pz1 Px 2 Py 2 Pz 2 Px 3 Py 3 Pz 3 Px 4 Py 4 Pz 4 ⎤ ⎦
（2）单元位移场的表达 根据节点条件个数，选取位移模式为：
u ( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y + a4 z v( x, y ) = b1 + b2 x + b3 y + b4 z w( x, y ) = c1 + c2 x + c3 y + c4 z
（4）单元刚度矩阵及节点荷载矩阵 在获得几何函数矩阵Be后，可以由刚度矩阵公式 得到计算单元的刚度矩阵为：
K e = ∫ B eT D e B e d Ω
Ω
节点等效荷载矩阵为：
P e = ∫ N eT bd Ω + ∫ N eT pdS
Ω Sp
（5）单元刚度方程 由最小势能原理得到单元刚度方程：
ur (r , z ) = a1 + a2 r + a3 z w(r , z ) = b1 + b2 r + b3 z
该模式与平面问题三节点三角形单元相同，由 节点条件可以推出相同的形状函数矩阵：
⎡ur 1 ⎤ ⎢w ⎥ ⎢ 1⎥ ⎡u (r , z ) ⎤ ⎡ N1 0 N 2 0 N 3 0 ⎤ ⎢ur 2 ⎥ e e N r z = = ( , ) δ (r , z ) = ⎢ δ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ w(r , z ) ⎦ ⎣ 0 N1 0 N 2 0 N 3 ⎦ ⎢ w2 ⎥ ⎢u ⎥ ⎢ r3 ⎥ ⎢ ⎣ w3 ⎥ ⎦
V为四面体的体积
（3）单元应变场的表达 由弹性力学的几何方程有：
⎡ε x ⎤ ⎡∂ ∂x 0 0 ⎤ ⎢ε ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ∂ ∂y ⎢ y ⎥ ⎢0 u ( x , y , z ) ⎡ ⎤ ⎢ε z ⎥ ⎢ 0 0 ∂ ∂z ⎥ ⎢ ⎥ ε ( x, y ) = ⎢ ⎥ = ⎢ v ( x , y , z ) ⎥⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢γ xy ⎥ ⎢∂ ∂y ∂ ∂x ⎢ w( x, y, z ) ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ∂ ∂z ∂ ∂y γ yz ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢γ ⎥ ⎣∂ ∂z 0 x ∂ ∂ ⎦ ⎣ zx ⎦ e = B ( x, y , z ) ⋅ δ
环向应变εθ中包含了坐标r和z，不是常量， 但其他应变分量都使常量。
三、单元应力 由物理方程可得：
εr = εθ = εz = γ rz =
σr σθ σz τ rz
G E E E
− − −
μσ θ μσ r μσ r
E E E
− − −
μσ z μσ z μσ θ
E E E
⎡ ⎢ 1 ⎢ ⎢ μ E (1 − μ ) ⎢ 1 − μ ⎢ D= (1 + μ )(1 − 2μ ) ⎢ μ ⎢1 − μ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣
该单元为横截面为三节点三角形的360°环形单元。
一、位移函数 该单元为绕z轴的环形单元，在rz平面内，其节 点位移和节点力为：
δ = [ur1 w1 ur 2 w2 ur 3 w3 ]
e e
T T
P = [ Pr1 Pz1 Pr 2 Pz 2 Pr 3 Pz 3 ]
位移条件，所以设位移模式为：
由于是三个节点，在X方向和Y方向有两个节点
= ∫ B eT D e B e 2π rdrdz
A
由于被积函数中包含了坐标r和z，积分不能简 单地求出，为了避免复杂的积分运算，并消除 对称轴上r=0所引起的麻烦，可把每个单元中的 r和z近似地当作常量，取为：
r=
ri + rj + rm 3
,z =
zi + z j + zm 3
⎡ kii kij kim ⎤ ⎢ ⎥ T [ K ] = 2π rA [ B ] [ D ][ B ] = ⎢ k ji k jj k jm ⎥ ⎢k k k ⎥ ⎣ mi mj mm ⎦
1 1 1 a1 = − y2 y3 y4 z2 z3 z4 1 1 1 b1 = − x2 x3 x4 z2 z3 z4 1 1 1 c1 = − x2 x3 x4 y2 y3 y4
对上节所述常应变四面体单元，所采用的形函数 也可用体积坐标表示如下：
N1 = L1 , N 2 = L2 , N 3 = L3 , N 4 = L4
5.4 空间轴对称问题及其单元的构造
如果空间结构的几何形状、约束条件及载荷分 布都对称于某个轴，则其位移、应变和应力等 也对称于该轴而与轴向坐标无关，这种情形称 为空间轴对称问题。一般习惯采用圆柱坐标系 (r,θ , z)描述空间轴对称问题，其中z 轴为对称 轴。结构内的位移、应变和应力只是r 和z 的函 数，而与θ 无关，因此数学上是二维问题。
μ
1− μ 1
μ
1− μ
μ
1− μ 1 0
μ
1− μ 0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 − 2μ ⎥ 2(1 − μ ) ⎥ ⎦ 0
四、单元刚度矩阵 由势能表达式得到刚度矩阵Ke：
K = ∫ B D B d Ω = ∫ ∫ B eT D e B e rdθ drdz
e eT e e Ω A 0 2π
求体积坐标的幂函数在四面体单元上的积分 时，可应用下列公式：
a !b !c !d ! L L L L dxdydz = 6V ∫∫∫ ( a + b + c + d + Байду номын сангаас) V
a b c d 1 2 3 4
5.3 等效节点荷载
按静力等效原则利用公式 R e = N T P ，把作用 在单元上的荷载转换成节点荷载。
B=⎡ ⎣ Bi B j Bm ⎤ ⎦
⎡∂N i ∂r ⎢ N r i ⎢ Bi = ⎢ 0 ⎢ ⎣∂N i ∂r ai hi = + bi + ci r
⎤ ⎡bi 0 ⎤ ⎥ 0 ⎥ 1 ⎢ hi 0 ⎥ ⎢ ⎥ = ∂N i ∂z ⎥ 2 A ⎢ 0 ci ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ∂N i ∂z ⎦ ⎣ci bi ⎦ z r 0
⎧ L1 ⎫ ⎪L ⎪ ⎪ 2⎪ 1 ⎨ ⎬= ⎪ L3 ⎪ 6V ⎪ ⎩ L4 ⎪ ⎭ ⎡V1 a1 ⎢V a ⎢ 2 2 ⎢V3 a3 ⎢ ⎣V4 a4 b1 c1 ⎤ ⎧1 ⎫ ⎥⎪ ⎪ b2 c 2 ⎥ ⎪x ⎪ ⎨ ⎬ b3 c 3 ⎥ ⎪ y ⎪ ⎥⎪ ⎪ b4 c 4 ⎦ ⎩ z ⎭
式中，ai、bi、ci分别为表面i（角点i对面的表 面）在x、y、z平面上的投影面积。实际上是V 矩阵的相应于坐标xi、yi、zi的余子式，如：
5.4.1 空间轴对称问题基本方程 （1）基本变量
对于轴对称问题，在柱坐标中的三大类力学变量为：
位移 :
ur w (uθ = 0)
应变：ε r εθ ε z γ rz (γ zθ = γ rθ = 0)
应 力 ：σ r σ θ σ z τ rz (τ zθ =τ rθ = 0)
由于是轴对称问题，所以以上力学量只是r和z的函数， 与θ无关。
K
e
(12×12)
⋅δ
e
(12×1)
=P
e
(12×1)
讨论：由前面几何矩阵Be的计算公式可知, Be 中的元素都是常量，因此单元中的应变也都是 常量。故采用线性位移模式的四面体单元是常 应变单元。
5.2 四面体的体积坐标
用于空间问题的高次四面体单元，如采用体积 坐标可简化计算公式。在四面体单元1234中， 任意一点P的位置可用下列比值来确定：
⎧1 ⎫ ⎡1 1 1 ⎪x ⎪ ⎢x x x ⎪ ⎪ ⎢ 1 2 3 = ⎨ ⎬ ⎢ ⎪ y ⎪ ⎢ y1 y2 y3 ⎪z ⎭ ⎪ ⎣ z1 z2 z3 ⎩ 1 x4 ⎤ ⎧ L1 ⎫ ⎥ ⎪L ⎪ 2⎪ ⎥⎪ ⎨ ⎬ y 4 ⎥ ⎪ L3 ⎪ ⎥⎪ ⎪ z 4 ⎦ ⎩ L4 ⎭
对上式求逆，可用直角坐标表示体积坐标如下：
1 Ni = ( ai + bi r + ci z ) 2A
(i, j , m)
ai = rj zm − rm z j , bi = z j − zm , ci = −rj + rm
1 ri 2 A = 1 rj 1 rm zi zj zm
二、单元应变 由几何方程可推出几何矩阵Be：
⎡ε r ⎤ ⎡∂ ∂r 0 ⎤ ⎢ε ⎥ ⎢ ⎥ u (r , z ) 1 r 0 ⎡ ⎤ θ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ = ε (r , z ) = ⎥ ⎢ε z ⎥ ⎢ 0 ∂ ∂z ⎥ ⎢ v ( r , z ) ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣γ rz ⎦ ⎣∂ ∂r ∂ ∂z ⎦ ⎡∂ ∂r 0 ⎤ ⎢1r ⎥ N1 0 N 2 0 N 3 0 ⎤ e 0 ⎡ ⎥ =⎢ ⋅δ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ∂ ∂z ⎥ ⎣ 0 N1 0 N 2 0 N 3 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣∂ ∂r ∂ ∂z ⎦ = B e (r , z ) ⋅ δ e
节点位移条件：
u ( xi , yi , zi ) = ui ⎫ ⎪ v( xi , yi , zi ) = vi ⎬ w( xi , yi , zi ) = wi ⎪ ⎭
(i = 1, 2,3, 4)
由节点条件可得到待定系数，再将系数代入位
移模式得到位移模式并写成矩阵形式：
⎡u ⎤ ⎥ δ ( x, y ) = ⎢ v ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ w⎥ ⎦ ⎡ N1 0 0 N 2 0 0 N 3 0 0 N 4 0 0 ⎤ e δ =⎢ ⎥ ⎣ 0 0 N1 0 0 N 2 0 0 N 3 0 0 N 4 ⎦ = N ( x, y )δ e 其中 1 Ni = (ai + bi x + ci y + di z ) (i = 1, 2,3, 4) 6V
边界面上线性分布荷载的等效荷载 1）边界面ijm作用线性分布荷载，i处的强度 是qi，j、m节点处强度为零
p 1 ⎧ ⎪ R j = 4 = 12 qi Aijm ⎪ 1 ⎪ Rp = 0 ⎨ Rm = qi Aijm 12 ⎪ 1 ⎪ ⎪ Ri = p − R j − Rm = 6 qi Aijm ⎩
第五章
连续体空间问题
5.1 常应变四面体单元
该单元是由四个节点组成四面体单元，每个结点 的位移有三个分量u 、v 和w，单元的节点和节点 位移如图所示。
（1）单元节点位移和节点力描述 四面体单元节点位移δe和节点力Pe为：
δ = [u1 v1 w1 u2 v2 w2 u3 v3 w3 u4 v4 w4
均布体积力的等效荷载
⎧ X 1e ⎫ ⎪ e⎪ ⎪Y1 ⎪ ⎪Z e ⎪ ⎪ 1 ⎪ e⎪ ⎪X2 ⎪ e⎪ ⎪Y2 ⎪ ⎪ e⎪ T ⎪Z 2 ⎪ 1 ⎡ ⎤ = Q Q Q Q Q Q Q Q Q ⎨ e⎬ x y z x y z⎦ ⎣ x y z 4 X ⎪ 3⎪ ⎪Y e ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ Z 3e ⎪ ⎪ e⎪ ⎪X4 ⎪ ⎪ e⎪ ⎪Y4 ⎪ ⎪Z e ⎪ ⎩ 4⎭
2）边界面ijm作用线性分布荷载，i、 j、m 处的强度是qi、qj、qm
⎧ 1⎛ 1 1 ⎞ ⎪ Ri = 6 ⎜ qi + 2 q j + 2 qm ⎟ Aijm ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 1⎛1 1 ⎞ ⎪ R j = ⎜ qi + q j + qm ⎟ Aijm 6⎝2 2 ⎠ ⎨ ⎪ 1⎛1 1 ⎞ ⎪ Rm = ⎜ qi + q j + qm ⎟ Aijm 6⎝2 2 ⎠ ⎪ ⎪R = 0 ⎩ p