(新)高中数学复合函数练习题

第一篇、复合函数问题

一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f

［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.

二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析： (1)、已知的定义域，求

的定义域

思路：设函数

的定义域为D ，即

，所以

的作用范围为D ，又f 对

作用，作用范

围不变，所以D x g ∈)(，解得

，E 为

的定义域。

例1. 设函数

的定义域为（0，1），则函数

的定义域为_____________。

解析：函数的定义域为（0，1）即

，所以的作用范围为（0，1）

又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以

解得

，故函数

的定义域为（1，e ）

例2. 若函数，则函数的定义域为______________。

解析：由

，知

即f 的作用范围为

，又f 对f(x)作用所以

，即中x 应满足

（2）、已知的定义域，求的定义域 思路：设

的定义域为D ，即

，由此得

，所以f 的作用范围为E ，又f 对x

作用，作用范围不变，所以

为的定义域。

例3. 已知的定义域为，则函数

的定义域为_________。 解析：的定义域为，即

，由此得

即函数

的定义域为

例4. 已知f x x

x ()lg 22

2

48

-=-，则函数的定义域为______________。

解析：先求f 的作用范围，由，知的定义域为

（3）、已知

的定义域，求

的定义域

思路：设的定义域为D ，即

，由此得

，的作用范围为E ，又f 对

作用，作用范围不变，所以，解得

，F 为

的定义域。

例5. 若函数的定义域为，则的定义域为____________。

解析：的定义域为，即，由此得

的作用范围为又f 对作用，所以，解得

即的定义域为

（二）同步练习：

1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数

)x (f 2

的定义域。答案：]1,1[- 2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域。答案：]9,3[-

3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域。答案：)

23,1()0,2

1(⋃- 三、复合函数单调性问题

（1）引理证明

已知函数

))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数

)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.

证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21

因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )

(22x g u =即),(,21,21

d c u u u u ∈>且

因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <，

故函数

))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数.

（2）．复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）、复合函数

))((x g f y =的单调性判断步骤：

ⅰ 确定函数的定义域； ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。

ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；

ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数

))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函

数），则复合后的函数

))((x g f y =为减函数。

（4）例题演练 例1、 求函数

)32(log 22

1--=x x y

解：定义域

1

30322-<>⇒>--x x x x 或。单调减区间是

)

,3(+∞ 设

2121),3(,x x x x <+∞∈且 则 )32(log 12

12

11--=x x y )32(log 22

22

12--=x x y

---)32(121x x )

32(22

2--x x =

)

2)((1212-+-x x x x ∵

312>>x x ∴012>-x x

0212>-+x x ∴)32(12

1--x x >)32(222--x x 又底数12

1

0<<

∴

012<-y y 即 12y y <∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数［例］2、讨论函数

)123(log )(2--=x x x f a 的单调性.

［解］由01232>--x x 得函数的定义域为}.3

1

,1|{-<>x x x 或

则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.

若3

1

-

10<

>x ，则

)

123(log )(2--=x x x f a 为减函数，若

3

1-

)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.

（5）同步练习：