上海高中数学暑假辅导班 高二数学暑假补习班

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4.证明面面平行的方法 线线平行 、__________ 线面平行 (1)转化为__________ 处理; 共线向量 (2)证明这两个平面的法向量是__________. 5.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量 互相垂直 __________.
6.证明线面垂直的方法
共线向量 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是 __________; 两条不共线向量互相垂直
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分析2 : 建立直角坐标系, 证明MN 与平面A1BD的法向量垂直. 证明 : 如上图, 建立空间直角坐标系A xyz.
设棱长为1, 则可求得A1 0, 0,1 , B 1, 0, 0 , D 0,1, 0 , 1 1 M (1,1, ), N (1, ,1). 2 2 1 1 MN (0, , ) 2 2 设平面A1BD的法向量为n x, y, z 则n A1 D 0且 A1 B 0 y z 0 得 取x 1, 则y 1, z 1 x z 0 n 1,1,1 .
(2)证明直线与平面内的__________.
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7.证明面面垂直的方法 线面垂直 线线垂直 、__________; (1)转化为__________ 互相垂直 (2)证明两个平面的法向量__________.
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名 师 讲 解
(学生用书P80)
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1. 利用空间向量证明线与面平行 : 只要在平面α内找到一条 直线的方向向量为b,已知直线的方向向量为a,问题转化为 证明a=λb即可. 2. 利用空间向量证明两条异面直线垂直 : 在两条异面直线上 各取一个向量a、b,只要证明a⊥b,即a·b=0即可.
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证明 : 以 D为原点, 以 DA,DC,DD 1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示,则有 D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,2),B1(1 ,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2).
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变式训练2 : 如下图,四棱锥P ABCD中, 底面ABCD 1 为直角梯形, CBA BAD 90, BC BA 2 AD 1, PA 平面ABCD, PA 1. 求证 : CD 平面PAC.
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分析: 由判定定理 , 只要证明 CD 垂直于面 PAC 中的两条相交直 线即可,或者用向量法证明CD的方向向量与平面PAC的法向 量平行.
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1 1 MN n 0 0 2 2 MN n, 又MN 平面A1BD. MN 平面A1BD.
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变式训练 1:ABCD-A1 B 1 C1 D 1 是正四棱柱 ,侧棱长为 3, 底面边长 为2,E是棱BC的中点,求证:BD1∥平面C1DE.
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证明:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1为坐标轴建系如右图, 则B(2,2,0),D1(0,0,3), E(1,2,0),C1(0,2,3),
1 2 b a2 c a c b 2 1 2 2 b a 0 0 0. 2 EF / / AB1 ,


即EF AB1 ,同理EF B1C. 又AB1 B1C B1 , EF 平面B1AC.
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方法3:设正方体的棱长为2,建立如下图所示的空间直角坐标 系,
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方法2 : 建系同方法1, n AP 0 设平面PAC的法向量n x, y, z , , n AC 0 x 0 y 0 z 0 x y 0 y x, 令x 1, 平面PAC的一个法向量n 1, 1, 0 , CD (1,1, 0) n. CD n, CD 平面PAC.
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则A 2, 0, 0 , C 0, 2, 0 , B1 2, 2, 2 , E 2, 2,1 , F 1,1, 2 . EF (1,1, 2) (2, 2,1) ( 1, 1,1). AB1 (2, 2, 2) (2, 0, 0) (0, 2, 2). AC (0, 2, 0) (2, 0, 0) ( 2, 2, 0). 而 EF AB1 (1, 1,1) (0, 2, 2) 1 0 1 2 1 2 0. EF AC 1, 1,1 2, 2, 0 2 2 0 0, EF AB1 , EF AC.又AB1 AC A, EF 平面B1AC.
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题型一
证明线面平行
例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是C1C、B1C1的中点, 求证:MN∥平面A1BD. 分析:分析1,如下图,易知MN∥DA1 因此得方法1.
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证明 :
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1 1 MN C1 N C1M C1B1 C1C 2 2 1 1 ( D1 A1 D1D) DA1 , 2 2 MN / / DA1. MN 平面A1BD, MN 平面A1BD.
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面AB1D 面ABB1A1.
方法3:建系如下图,正三棱柱底面边长为a,高为a,取AB1的中 点M,则相关点的坐标如下:
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3 a a a a, ), M (0, 0, ), A( , 0, 0), 2 2 2 2 a a B( , 0, 0), A1 ( , 0, a) 2 2 3 则DM (0, a, 0), AA1 (0, 0, a), 2 AB (a, 0, 0), D(0, DM AA1 0, DM AB 0, 得DM 面ABB1A1. 又 DM 面AB1D, 面AB1D 面ABB1A1.
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3.证明线面垂直 : 直线 l, 平面α,要让l⊥α,只要在 l上取一 个非零向量p, 在α内取两个不共线的向量 a 、b,问题转化 为证明p⊥a且p⊥b,也就是a·p=0且b·p=0. 4. 证明面面平行、面面垂直 ,最终都要转化为证明线线平行、 线线垂直.
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典 例 剖 析
(学生用书P80)
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规律技巧:(1)方法1是传统的几何法证明,利用线面垂直的性 质及判定,需添加辅助线. 方法 2 选基底 , 将相关向量用基底表示出来 , 然后利用向量的
计算来证明.
方法 3 建立空间直角坐标系 , 利用向量 , 且将向量的运算转化 为实数(坐标)的运算,以达到证明的目的. (2) 几何的综合推理有时技巧性较强 , 而向量代数运算属程 序化操作 ,规律性较强 ,但有时运算量大 ,两种处理方法各 有优点,不能偏废.
2015
3.2.2
利用空间向量证明平行、
垂直关系
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自 学 导 引 (学生用书P80) 会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行 , 垂 直关系,掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤.
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课 前 热 身
(学生用书P80)
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线线平行 、 __________ 线面平行 、 1. 空间中的平行关系主要有 __________ 面面平行 线线垂直 __________, 空间中的垂直关系主要有 __________ 、 线面垂直、__________. 面面垂直 __________ 2. 证明两条直线平行 , 只要证明这两条直线的方向向量是 共线向量 __________即可.
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题型三
证明面与面垂直
例3:三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱
CC1的中点.
求证:平面AB1D⊥平面ABB1A1.
分析:转化为线线垂直、线面垂直或者利用法向量垂直.
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证明:方法1:取AB的中点E. ∵三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱, ∴CE⊥AB且AA1⊥CE,得 CE⊥面ABB1A1.
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题型二
证明线面垂直
例2:如下图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、
D1B1的中点.
求证:EF⊥平面B1AC.
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分析 : 转化为线线垂直或利用直线的方向向量与平面的法向 量平行.
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证明:方法1:设A1B1的中点为G, 连结EG,FG,A1B.
则FG∥A1D1,EG∥A1B.
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3.证明线面平行的方法 垂直 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量___________. (2) 证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量 共线 __________. (3)利用共面向量的定理 ,即证明直线的方向向量与平面内两 共面向量
个不共线的向量是__________.
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BD1 (2, 2, 3), DE (1, 2, 0), EC1 (1, 0,3). 即 2, 2,3 1, 2, 0 1, 0,3 , 得 2, 2 2, 解得 1, 1. 3 3, BD1与DE , EC1共面, 又 BD1 面C1DE, BD1 面C1DE. 设 BD1 DE EC1 ,
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另取AB1中点M,得MD∥CE. ∴MD⊥面ABB1A1. 又∵MD⊂面AB1D, ∴面AB1D⊥面ABB1A1.
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方法2 : 取 AB, AC , AA1为空间基底, 另取AB1中点M, AB中点E, 则 由题意可得CE DM , 1 DM CE (CA CB ). 2 1 DM AA1 (CA CB ) AA1 2 1 1 (CA AA1 CB AA1 ) 0, DM AB (CA CB ) AB 2 2 1 (CA AB CB AB ) 0, 2 DM AB, DM AA1 , DM AB 即 且AB AA1 A DM AA1 DM 平面ABB1A1. 又 DM 面AB1D,
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证明:方法1:如下图,分别以AB、 AD、AP所在直线为x,y,z轴 建立空间直角坐标系, 则C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1),
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AC (1,1, 0), CD (1,1, 0), AP 0, 0,1 , CD AC 1 1 1 1 0, CD AC,同理CD AP 0, CD AP, CD 平面PAC.
∵A1D1⊥平面A1B.∴FG⊥平面A1B.
∴AB1⊂平面A1B,∴FG⊥AB1,
∴A1B⊥AB1,∴EG⊥AB1.∴EF⊥AB1.
同理EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1,
∴EF⊥平面B1AC.
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方法2 : 设 AB a, AD c, AA1 b, 1 则EF EB1 B1 F ( BB1 B1 D1 ) 2 1 1 ( AA1 BD ) ( a b c ), 2 2 AB1 AB AA1 a b. EF AB1 1 ( a b c ) (a b) 2
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规律技巧:证明面面垂直有传统方法和向量法两种途径,传统 方法考查逻辑思维能力较多,常需作辅助线解决,思维量大, 向量法思维量小,但有时运算量较大,特别是建系时一定要 根据题目所给空间体建立合适的坐标系,建系不当,会人为 增加计算的难度.
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变式训练3:如图所示,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD 是边长为 2 的正方形 , 四边形 A 1 B 1 C 1 D 1 是边长为 1 的正方 形,DD1⊥平面A1B1C1D1,DD1⊥平面ABCD,DD1=2. (1)求证:A1C1与AC共面,B1D1与BD共面; (2)求证:平面A1ACC1⊥平面B1BDD1.